高考数学复习经典优质专题(附详解)
极值克偏移第三招——含对数式的极值点偏移问題
前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策 略：若f(X )的极值点为Xo ,则根据对称性构造一元差函数
F(x)=f (Xo+x)-f (Xo-X )，巧借F(x )的单调性以及F(o)=o，借助于 f (Xi )= f (X2 )= f [Xo -(Xo —X2 与 f [xo +(Xo -X2
)]=f(2Xo-X2)，比较 X2与
2Xo-Xi的大小，即比较Xo与 gw的大小.有了这种解题策略，我们 2
师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。
本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据
f(Xi)=f(X2 )建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑 构造
函数，利用对数平均不等式链求解. ★例.已知函数 f(x)=ln X-ax+(2-a)x.
2
(1)讨论f(X)的单调性;
(2) 设a:>0，证明：当ovx<」时，f (丄+x)》f (丄-X);
a a a
(3) 若函数y = f(x)的图象与X轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐
标为Xo，证明：f(xo)vo.
1
高考数学复习经典优质专题（附详解）
【解析】（D易得：3/1 ＜0时，才（X）在（0=-Ki＞）上单调递増; 当fl＞0时，/（力在（t＞丄）上单调递増，在（-：+x）上单调递减. a a （2）法一：构造函数g（力=/｛丄+力一_＜（丄一Q（O＜^�丄） a a a
二共c）在（Q—）上单调递増, a
又 g(0〉= 0,二g0, SP - + jc) > /<- -x> . a a
法二：构造以a为主元的函数，设函数h(a) = f(+ x)-f(丄-x), a a
—
贝J h(a) =1 n(1 +ax) —In(1 —ax) —2ax，3 2
1-ax
『(a) =—^ + ——1-a x
2x =—，1
1 由 0 CX <—，解得 0 a X
当0 0,「. h(a)在(0,邑)上单调递增，
X
而 h(0) =0， 所以 h(a) >0，故当 0vxv丄时，f (丄+x) > f (丄-x).
a
a a
⑶ 由 ⑴ 知，只有当＜3＞0,且/⑴的最大值才G）A0时,
G
函数y = f（^才会有两个零点，不妨设/（耳0）已可2）2＜再 5, 贝iJ0故一一画 e(l-),
a a a
由(2)得：=
+
=
=
a a a a a
又由/（力在（g）上单调递减，
￡1
所以花＞2 —珂，于是召严西+花 ＞丄， a 2 a 由⑴知，f （孔）
【问题的进一步探究】
2
1+ax
高考数学复习经典优质专题(附详解)
对数平均不等式的介绍与证明
b的对数平均定义：L(a,b)星Ina-Inb(
a
I a — b (a b) 两个正数a和[a(a =b).
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:
届rng竽(此式记为对数平均不等式) 取等条件：当且仅当a=b时，等号成立.
只证：当^时，庙<(<^
bLa,b)
?不失一般性，可设a Ab.
证明如下:
(I)先证：7ab
[KS5UKS5UKS5U]
不等式 二 In a— Inbc^iu In c
a
a
Tab b b
b 二 2lnxcx — h其中 a
x
V b
1 2 1 1
构造函数 f(x)=2I n X —(x--),(x A1)，贝y 厂(X)=--[-飞二-(1--)2.
x x x x
因为x:>1时，「(x)<0，所以函数f(x)在(1,咼)上单调递减， 故f(x)成立;
a + b
(II)再证：L(a,b) v——… ???[KS5UKS5U.KS5U
2
.ln…
ln
r 菁=>x^(其中\忑T
b
2
lnx2
构造函
数gg Wx-gg)，则
1
(x+1) g'(x)十击=晋.
因为X〉1时，g'(x)>0，所以函数g(x)在(1,址)上单调递增, 故g(xHg(i^0，从而不等式
成立;
3
