全国高中数学竞赛题
第一试
π2π
1．求证:sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)
33
2．已知:双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0,两顶点间的距离为2,试求此双曲线方程．
3．在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住． 4．圆的两条非直径的圆相交,求证:它们不能互相平分． x－y+z=1， ⑴y－z+u=2， ⑵
5．解方程组z－u+v=3， ⑶
u－v+x=4， ⑷v－x+y=5． ⑸
?????
6．解方程:5x2+x－x5x2－1－2=0．
7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．
8．设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C．
9．已知一点P(3,1)及两直线l1:x+2y+3=0,l2:x+2y=7=0,试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程．
10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论．
第二试
1．已知f(x)=x2－6x+5,问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x,y)在平面上的什么范围内？并画图．
2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对,请证明,如果不对,请作一四边形,满足已知条件,但它不是平行四边形．并证明你的作法．
ππ
3．设0<α<,0<β<,证明
22
11+2≥9 ． 2
cosαsinαsin2βcos2β
4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线,如果它把正方形分成两个面积相等的两部分,试证这条曲线的长度不小于1．
n
5．在正整数上定义一个函数f(n)如下:当n为偶数时,f(n)= ,当n为奇数时,f(n)=n+3,
2
1° 证明:对任何一个正整数m,数列a0=m,a1=f(a0),…,an=f(an－1),…中总有一项为1或3． 2° 在全部正整数中,哪些m使上述数列必然出现“3”？哪些m使上述数列必然出现“1”？ DCA6．如图,假设两圆O1和O2交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的
弦BD交⊙O1于F,证明 FE ⑴ 若∠DBA=∠CBA,则DF=CE；
O1O2 ⑵ 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA．
7．某区学生若干名参加数学竞赛,每个学生得分都是整数,总分为8250B分,前三名的分数是88、85、80,最低分是30分,得同一分数的学生不超过3人,问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？
全国高中数学竞赛试题解答
第一试
π2π
1．求证:sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)
33
π2ππ
证明:4 sinθsin(+θ)sin(+θ)=2sinθ[－cos(π＋2θ)＋cos]=2sinθcos2θ＋sinθ
333
=2sinθ(1－2sin2θ)＋sinθ=3sinθ－4sin3θ=sin3θ．
2．已知:双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0,两顶点间的距离为2,试求此双曲线方程． 解:设双曲线方程为x2－y2=λ,以(1,0)及(0,1)分别代入,得双曲线方程为x2－y2=?1． 3．在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住． 解:以BC为直径作⊙O,则⊙O即为所求的最小圆．
首先,BC是△ABC的最长边,对于任意直径小于BC的圆,不可能盖住BC．(若能盖住,则得到圆的弦长大于同圆的直径,这是不可能的)
其次,由于∠A>90?,故点A在圆内．即此圆盖住了△ABC．故证． 4．圆的两条非直径的弦相交,求证:它们不能互相平分．
证明:设⊙O的弦AB、CD互相平分于点M,连OM,则由M是弦AB中点．
∴ OM⊥AB,同理OM⊥CD．于是过点M可能作OM的两条垂线,这是不可能的．故证．
x－y+z=1， ⑴??y－z+u=2， ⑵
5．解方程组?z－u+v=3， ⑶
u－v+x=4， ⑷??v－x+y=5． ⑸
解:五式相加:x＋y＋z＋u＋v=15．
⑴＋⑵:x＋u=3,⑵＋⑶:y＋v=5,?z=7；⑶＋⑷:z＋x=7,⑷＋⑸:u＋y=9,?v=－1； x=0,y=6,u=3．
即x=0,y=6,z=7,u=3,v=－1． 6．解方程:5x2+x－x5x2－1－2=0． 解:5x2－1≥0,?x≥
55或x≤－． 55
101
及x≥1时,5x2－1=1－2x＋x2,?2x2＋x－1=0,?x=－1,x=． 52
(5x2－1)2－1－x5x2－1＋x=0,?(5x2－1－1)(5x2－1＋1－x)=0, ?5x2－1=1．?x=?∴ x=?
10
． 5
7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”． 证明:略(见课本)
8．设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C． 112
解:B=60?,+=,?sin60?(sinA＋sinC)=2sinAsinC,
sinAsinCsinB
A－CA－C1
?2cos(A－C)－3cos＋1=0,令x=cos,得4x2－3x－1=0,x=1,x=－ (舍)
224
∴ A=B=C=60?.
9．已知一点P(3,1)及两直线l1:x+2y+3=0,l2:x+2y=7=0,试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程．
10
解:两直线距离==25,圆心在直线x＋2y－2=0上．
1+22设圆方程为(x－2＋2b)2＋(y－b)2=5,?(3－2＋2b)2＋(1－b)2=5,?1＋4b＋4b2＋1－2b＋b2=5,
3
?5b2＋2b－3=0,b=－1,b=．
5
43
∴ 所求圆方程为(x－4)2＋(y＋1)2=5；(x－)2＋(y－)2=5．
55
10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个
最大？证明你的结论．
解:此正方形有4个顶点,故必有一边在三角形的边上．
设a、b、c边上的高分别为ha、hb、hc,且立于a边上正方形边长为x,
则
ha－xxaha2S
=,aha=(a＋ha)x,x==． haa+haa+ha
2S2S2S
现aha=bhb=2S,a>b,于是a＋ha－(b＋hb)=(a－b)＋(－)=(a－b)(1－)=(a－b)(1－sinC)>0.
abab∴ a＋ha>b＋hb>c＋hc．
∴ 立于c边上的正方形最大．
第二试
1．已知f(x)=x2－6x+5,问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x,y)在平面上的什么范围内？并画图． 解:f(x)+f(y)≤0,?x2－6x+5+y2－6y+5≤0,?(x－3)2+(y－3)2≤8,表示
y以(3,3)为圆心,22为半径的圆及圆内部分．
f(x)－f(y)≥0,?x2－6x－y2+6y≥0,?(x－3)2－(y－3)2≥0,?(x+y－6)(x
(3,3)－y)≥0．
所求图形为阴影部分．
2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”xO对吗？如果对,请证明,如果不对,请作一四边形,满足已知条件,但它不是平行四边形．并证明你的作法．
证明:不对,如图,作△ABD,及过B、A、D三点的弧,以BD为轴作此弧的对称图形,以D为圆心,AB为半径作弧与所作对称弧有两个不同的交点C、C?,C'则四边形ABCD、ABC?D都是有一组对边相等,一组对角相等的四边形,其中有一D个不是平行四边形．
ππ
3．设0<α<,0<β<,证明
22
11+2≥9 ． 2cosαsinαsin2βcos2β
CBA111411
证明:2+2= +2≥2+2 2222cosαsinαsinβcosβcosαsinαsin2βcosαsinα
=tan2α+1+4cot2α+4≥5+24tan2αcot2α=9．
4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线,如果它把正方形分成两个面积相等的两部分,试证这条曲线的长度不小于1．
证明 设M、N是单位正方形周界上两点,曲线MN把正方形的面积两等分． 1? 若M、N分别在正方形的对边上(图1),于是曲线MN≥线段MN≥1． 2? 若M、N分别在正方形的一组邻边上(图2 )．连对N'N'CDCDCD角线AC,则曲线MN必与AC相交(若不相交,则曲线MN全NNEF部在AC的一边,它不可能平分正方形的面积),设其中一个交PPM点为P,作曲线 的PN段关于AC的对称曲线PN’,则点M、AMAMBNBBN’在正方形的一组对边上,而曲线MN’的长度等于曲线MNA图2图3图1的长度．于是化归为情形1?．
3?若M、N分别在正方形的一条边AB上(图3)．连对边AD、BC的中点EF,则曲线MN必与EF相交(理由同上),设其中一个交点为P,作曲线 的PN段关于EF的对称曲线PN’,则点M、N’在正方形的一组对边上,
全国高中数学竞赛题
