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中级计量经济学讲义_第二章第一节数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及

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上课材料之二:

第二章 数学基础 (Mathematics)

第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)

第二节 分布函数(Distribution Function),数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计(Mathematical Statistics) 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)

2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m×n矩阵可表示为:

矩阵的加法较为简单,若C=A+B,cij=aij+bij

但矩阵的乘法的定义比较特殊,若A是一个m×n1的矩阵,B是一个n1×n的矩阵,则C=AB是一个m×n的矩阵,而且cij?的:

? 结合律(Associative Law) (AB)C=A(BC) ? 分配律(Distributive Law) A(B+C)=AB+AC 问题:(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立?

向量(Vector)是一个有序的数组,既可以按行,也可以按列排列。 行向量(row vector)是只有一行的向量,列向量(column vector)只有一列的向量。

如果α是一个标量,则αA=[αaij]。

矩阵A的转置矩阵(transpose matrix)记为A?,是通过把A的行向量变成相应的列向量而得到。

显然(A?)′=A,而且(A+B)′=A?+B?,

? 乘积的转置(Transpose ofa production ) (AB)??B?A?,(ABC)??C?B?A?。 ? 可逆矩阵(inverse matrix),如果n级方阵(square matrix)A和B,满足AB=BA=I。

则称A、B是可逆矩阵,显然A?B,B?A。如下结果是成立的:

?1?1?ak?1nikbkj,一般来讲,AB≠BA,但如下运算是成立

(A?1)?1?A2.2 特殊矩阵

(A?1)??(A?)?1(AB)?1?B?1A?1。

1)恒等矩阵(identity matrix)

1

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对角线上元素全为1,其余全为0,可记为I; 2)标量矩阵(scalar matrix) 即形如αI的矩阵,其中α是标量; 3)幂等矩阵(idempotent matrix)

如果矩阵A具有性质A?A?A2?A,这样的矩阵称为幂等矩阵。 定理:幂等矩阵的特征根要么是1,要么是零。

4)正定矩阵(positive definite)和负定矩阵(negative definite),非负定矩阵(nonnegative ) 或 半正定矩阵(positive semi-definite ),非正定矩阵(nonpositive definite) 或 半负定矩阵(negative semi-definite);

对于任意的非零向量x,如有x?Ax>0(<0),则称A是正(负)定矩阵;如有x?Ax?????≥0(≤0),非负(非正)定矩阵。如果A是非负定的,则记为A≥0;如果是正定的,则记为A>0。协方差矩阵?是半正定矩阵,几个结论:

a)恒等矩阵或单位矩阵是正定的; b)如果A是正定的,则A?1也是正定的;

c)如果A是正定的,B是可逆矩阵,则B?AB是正定的;

d)如果A是一个n×m矩阵,且n>m,r(A)?m,则A?A是正定的,AA?是非负定矩阵。

5)对称矩阵(symmetric matrix); 如果A=A′,则A称为对称矩阵。 2.3 矩阵的迹(trace)

一个n×n矩阵的迹被定义为它的对角线上的元素之和,记为tr(A),则tr(A)?如下结论是显然的。

1)tr(?A)??tr(A) (?是标量) 特例tr(I)?n 2)tr(A?)?tr(A)

3)tr(A?B)?tr(A)?tr(B) 4)tr(AB)?tr(BA),特例tr(A?A)??ai?1nii,

??i?1j?1nn2aij

2

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5)循环排列原则 tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC) 定理:实对称矩阵A的迹等于它的特征根之和。

??1????因为A是实对称矩阵,故有在矩阵C,使得C?AC????,其中CC??I,??n????所以,

??i?1ni?tr(?)?tr(C?AC)?tr(AC?C)?tr(AI)?tr(A)。

2.4 矩阵的秩(rank)

一个矩阵A的行秩和列秩一定相等,一个矩阵的秩就可以定义为它的行秩或列秩,记为r(A),不加证明,我们给出如下结果:

1)r(A)?r(A?)≤min(行数、列数)

2)r(A)?r(B)?n1≤r(AB)≤min(r(A),r(B)),其中A、B分别为m×n1、n1×n矩阵,特例:如果A、B为n×n矩阵,而且AB=0,则r(A)?r(B)≤n

3)r(A)?r(AA?)?r(A?A),其中A是n×n的方阵 4)r(A?B)≤r(A)?r(B)

5)设A是n×n矩阵,且A?I,则r(A?I)?r(A?I)?n 6)设A是n×n矩阵,且A?A,则r(A)?r(A?I)?n 2.5 统计量的矩阵表示

向量可理解为特殊的矩阵。i是一个其元素都为1的n维列向量,即i?=(1,1,…,1),如果我们再假定x??(x1,x2,?,xn),计量经济模型中的许多统计量就可以用矩阵的形式表示出来,很方便进行数学推导。

22?????n2??显而易见,?xi?i??x,?xi?x??x,样本的均值与方差的矩阵表示如下:

ni?1i?11)样本均值矩阵表示;

?1???????11事实上i?i?n即i?i?1,而ii?????n??11?1??1?1?1n1??,x??xi?i??x;

???ni?1n?1?1?3

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