。
?y2?x?122kx?(k?1)x??0， 联立方程?得1y?kx?4?2?考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k?． 由韦达定理可知：x1?x2?121?k……①， 2k……②
y2x，B在直线ON上， x2由题可得A,B横坐标相等且同为x1，且lON:y??xy?又A在直线OP：y?x上，所以A(x1,x1),B?x1,12?，若要证明A为BM中点，
x2??只需证2yA?yB?yM，即证1?y?kx?1??12将?代入上式，
1?y?kx?22?2?x1y2?y1?2x1，即证x1y2?x2y1?2x1x2， x2即证(kx2?)x1?(kx1?)x2?2x1x2，即(2k?2)x1x2?(x1?x2)?0， 将①②代入得(2k?2)12121211?k?2?0，化简有恒成立， 24k2k所以2yA?yB?yM恒成立， 所以A为BM中点．
19．
x【解析】（1）∵f(x)?ecosx?x
xxx∴f(0)?1,f?(x)?ecosx?esinx?1?e(cosx?sinx)?1
0∴f?(0)?e(cos0?sin0)?1?0
∴f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y?f(0)?f?(0)(x?0)，即y?1?0．
x（2）令g(x)?f?(x)?e(cosx?sinx)?1
g?(x)?ex(cosx?sinx)+ex(?sinx?cosx)??2exsinx
-可编辑修改-
。
π??x∵x??0，?时，g?(x)??2esinx?0
2??π??∴g(x)在?0，?上单调递减
2??π??∴x??0，?时，g(x)?g(0)?f?(0)?0，即f?(x)?0
2??π??∴f(x)在?0，?上单调递减
2??∴x?0时，f(x)有最大值f(0)?1；
πx?时，f(x)有最小值
220．
?πππ?π?f???e2cos???．
222?2?【解析】（1）易知a1?1，a2?2，a3?3且b1?1，b2?3，b3?5．
∴c1?b1?a1?0，
c2?max?b1?2a1，b2?2a2??max??1，?1???1，
c3?max?b1?3a1，b2?3a2，b3?3a3??max??2，?3，?4???2．
下面我们证明，对?n?N*且n≥2，都有cn?b1?a1?n． 当k?N*且2≤k≤n时，
?bk?ak?n???b1?a1?n?
????2k?1??nk???1?n ??2k?2??n?k?1? ??k?1??2?n?
∵k?1?0且2?n≤0，
∴?bk?ak?n???b1?a1?n?≤0?b1?a1?n≥bk?ak?n．
因此，对?n?N*且n≥2，cn?b1?a1?n?1?n，则cn?1?cn??1． 又∵c2?c1??1，
故cn?1?cn??1对?n?N*均成立，从而?cn?为等差数列．
-可编辑修改-
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（2）设数列?an?与?bn?的公差分别为da，db，下面我们考虑cn的取值．
对b1?a1?n，b2?a2?n，…，bn?an?n， 考虑其中任意项bi?ai?n（i?N*且1≤i≤n）， bi?ai?n
???b1??i?1?db?????a1??i?1?da???n ?(b1?a1?n)?(i?1)(db?da?n)
下面我们分da?0，da?0，da?0三种情况进行讨论． （1）若da?0，则bi?ai?n??b1?a1?n???i?1??db ①若db≤0，则?bi?ai?n???b1?a1?n???i?1??db≤0 则对于给定的正整数n而言，cn?b1?a1?n 此时cn?1?cn??a1，故?cn?为等差数列．
②若db?0，则?bi?ai?n???bn?an?n???i?n??db≤0 则对于给定的正整数n而言，cn?bn?an?n?bn?a1?n． 此时cn?1?cn?db?a1，故?cn?为等差数列．
c2，c3，L是等差数列，命题成立． 此时取m?1，则c1，（2）若da?0，则此时?da?n?db为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数． 故必存在m?N*，使得当n≥m时，?da?n?db?0
则当n≥m时，?bi?ai?n???b1?a1?n???i?1???da?n?db?≤0（i?N*，1≤i≤n）． 因此，当n≥m时，cn?b1?a1?n．
此时cn?1?cn??a1，故?cn?从第m项开始为等差数列，命题成立．
（3）若da?0，则此时?da?n?db为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数． 故必存在s?N*，使得当n≥s时，?da?n?db?0
-可编辑修改-
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则当n≥s时，?bi?ai?n???bn?an?n???i?n???da?n?db?≤0（i?N*，1≤i≤n） 因此，当n≥s时，cn?bn?an?n． 此时
cn nb?a?n?nn
nb??an?n
nb1?db n??da?n??da?a1?db??令?da?A?0，da?a1?db?B，b1?db?C 下面证明
cncC?An?B?对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，n?M． nnn???1（?x?表示不大于x的最大整数） ??M?Bm?①若C≥0，则取??A当n≥m时，
??M?B??cnM?B≥An?B≥Am?B?A???1?B?A??B?M， ????nAA????此时命题成立．
?M?C?B?m?C?0②若，则取???1
A??当n≥m时，
M?C?Bcn≥An?B?C≥Am?B?C?A??B?C≥M?C?B?B?C?M． nA此时命题也成立．
因此，对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，综合以上三种情况，命题得证．
cn?M． n-可编辑修改-
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