高中数学讲义
复数
典例分析
题型一：复数的概念
【例1】若复数?a2?3a?2???a?1?i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1
2【例2】若复数z?(x?1)?(x?1)i为纯虚数，则实数x的值为（ ）
B．2 C．1或2 D．?1
A．?1 B．0 C．1 D．?1或1
【例3】已知0?a?2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（ ）
A．?1，5?
【例4】若复数i?(2?bi)是纯虚数，则实数b? ．
【例5】设z1是复数，z2?z1?iz1（其中z1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是?1，则z2的虚部
为 ．
【例6】复数1?
【例7】计算：i0!+i1!+i2!+L+i100!? （i表示虚数单位）
B．?1，3?
C．1，5
??D．1，3
??2?（ ） i3A．1?2i
B．1?2i C．?1 D．3
思维的发掘 能力的飞跃
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高中数学讲义
【例8】设z?(2t2?5t?3)?(t2?2t?2)i，t?R，则下列命题中一定正确的是（ ）
A．z的对应点Z在第一象限 B．z的对应点Z在第四象限 C．z不是纯虚数 D．z是虚数
【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
①若(x2?1)?(x2?3x?2)i是纯虚数，则实数x??1；
①z是虚数的一个充要条件是z?z?R； ①若a，b是两个相等的实数，则(a?b)?(a?b)i是纯虚数； ①z?R的一个充要条件是z?z．
1①z?1的充要条件是z?．
zA．1 B．2 C．3
D．4
题型二：复数的几何意义
(2?i)2【例10】复数z?（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
1?iA．第一象限 B．第二象限
【例11】复数z1?3?i，z2?1?i，则复数
A．第一象限
C．第三象限
D．第四象限
z1在复平面内对应的点位于（ ） z2
C．第三象限
D．第四象限
B．第二象限
1?i2009【例12】在复平面内，复数对应的点位于（ ）
(1?i)2A．第一象限 B．第二象限
【例13】在复平面内，复数z?sin2?icos2对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C．第三象限
D．第四象限
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思维的发掘 能力的飞跃
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2对应的点与原点的距离是（ ） 1?i
【例14】在复平面内，复数
A． 1 B．
2 C．2 D． 22
【例15】若复数z满足(1?i)z?1?ai，且复数z在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的
取值范围是（ ）
A．a?1
B．?1?a?1
C．a??1
D．a??1或a?1
uuuruuur【例16】已知复数z＝3＋4i所对应的向量为OZ，把OZ依逆时针旋转θ得到一个新向量为
uuuruuurOZ1．若OZ1对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（ ）
A．3i B．4i C．5i D．－5i
【例17】复数z?m?2i（m?R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） 1?2iA．第一象限
?3?5??B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例18】若???π，π?，复数(cos??sin?)?(sin??cos?)i在复平面内所对应的点在（ ）
44A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例19】设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z?(cotB?tanA)?(tanB?cotA)i对应的点位于复平
【例20】如果复数z满足z?i?z?i?2，那么z?i?1的最小值是（ ）
A．1
【例21】满足z?1及z?13?z?的复数z的集合是（ ） 22 面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
B．2 C．2 D．5
思维的发掘 能力的飞跃
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??1A．?????2??2?C．?2??313???1111?i，??i? B．??i，?i? 222??2222????1?222?313??i，?i? D．??i，?i? 222?22????22?
【例22】已知复数(x?2)?yi(x，y?R)的模为3，则
【例23】复数z满足条件：2z?1?z?i，那么z对应的点的轨迹是（ ）
A．圆
z12【例24】复数z1，z2满足z1z2?0，z1?z2?z1?z2，证明：2?0．
z2y的最大值为_______． xB．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【例25】已知复数z1，z2满足z1?7?1，z2?7?1，且z1?z2?4，求
【例26】已知复数z1，z2满足z1?z2?1，且z1?z2?2，求证：z1?z2?2．
z2?C，z1?z2?1，z1?z2?3，求z1?z2． 【例27】已知z1，z1与z1?z2的值． z2
【例28】已知复数z满足z?(2?3i)?z?(2?3i)?4，求d?z的最大值与最小值．
题型三：复数的四则运算
?1?【例29】复数?i??等于（ ）
?i?3A．8
B．?8 C．8i D．?8i
【例30】设a?R，且(a?i)2i为正实数，则a?（ ）
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A．?1
B．1
C．0
D．?1
z2?2z【例31】已知复数z?1?i，则?（ ）
z?1A．2i B．?2i C．2 D．?2
【例32】设z的共轭复数是z，若z?z?4，z?z?8，则
A．i
【例33】已知集合z?A．
【例34】已知复数z1?2?3i,z2?5 5 B．?i C．?1
z等于（ ） z D．?i
(3?i)(3?i)，则|z|?（ ）
2?i B．
25 5 C．5 D．25 z13?2i，则?（ ）
(2?i)2z2A． 49 B．7 C． 25 D． 5
【例35】若将复数
【例36】若复数
【例37】i是虚数单位，若
a?3i（a?R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） 1?2iA．?2 B．4 C．?6 D．6
1?i表示为a?bi（a，b?R，i是虚数单位）的形式，则a?b? ． 1?i1?7i?a?bi(a,b?R)，则乘积ab的值是（ ） 2?iA．?15 B．?3 C．3 D．15
【例38】设a，b?R且b?0，若复数(a?bi)是实数，则（ ）
22A．b?3a
22 B．a?3b
22C．b?9a
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【例39】若a为实数，
22D．a?9b
2?ai1?2i??2i，则a等于（ ）
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