第一讲 函数、极限、连续
1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数： 偶函数：
f(?x)??f(x)，图像关于原点对称。 f(?x)?f(x)，图像关于y轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶的比较
设α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则
α （1）若lim?0，则α是比β高阶的无穷小量。
β（2）若limα?c（不为0），则α与β是同阶无穷小量 βα?1，则α与β是等价无穷小量 特别地，若limβ（3）若limα??，则α与β是低阶无穷小量 β 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）limsinxx?lim?1
x?0x?0xsinxsin? 使用方法：拼凑lim???0x??limsin???0 ，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致 ?????0??1?1? （2）lim?1???lim(1?x)x?e
x??x?0x?? 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
?a0?,n?mbPn?x??0??0,n?m 5、limx??Q?X???,n?mm?? Pn?x?的最高次幂是n,Qm?x?的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速
度快。n?m,以相同的比例趋向于无穷大；n?m，分母以更快的速度趋向于无穷大；n?m，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限
左极限：lim?x?x0f(x)?A
右极限：lim?x?x0f(x)?A
注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： lim?x?0?f(x0??x)?f(x0)??0 ?y?lim?x?0f(x)?f(x0)
x?x0或limx?x0 间断：使得连续定义limf(x)?f(x0)无法成立的三种情况
记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等
9、间断点类型
（1）、第二类间断点：lim?x?x0f(x)、limf(x)至少有一个不存在
x?x0? （2）、第一类间断点：lim?x?x0f(x)、limf(x)都存在
x?x0? 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第
一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质
（1） 最值定理：如果（2）
f(x)在?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上必有最大值最小值。
内至少存在一点
?零点定理：如果f(x)在?a,b?上连续，且f(a)?f(b)?0，则f(x)在?a,b??，使得f(?)?0
第三讲 中值定理及导数的应用
1、 罗尔定理
如果函数y?f(x)满足：（1）在闭区间?a,b?上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）f(a)?f(b)，
f?(?)?0 则在(a,b)内至少存在一点?，使得记忆方法：脑海里记着一幅图： 2、 拉格朗日定理 如果y?f(x)满足（1）在闭区间?a,b?上连续 （2）在开区间（a,b）内可导； 则在(a,b)内至少存在一点?，使得脑海里记着一幅图： （*）推论1 ：如果函数y在(a,b)内
f?(?)?f(b)?fb (a) b?a?f(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间（a,b）内可导，且f?(x)?0，那么
f(x)=C恒为常数。 f(x),g(x)在?a,b?上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?g?(x),x?(a,b)，
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。 （*）推论2：如果
那么
f(x)?g(x)?c
记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
3、 驻点
满足
f?(x)?0的点，称为函数f(x)的驻点。
几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线 4、极值的概念
设
f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点
x,有
f(x)?f(x0)，则称f(x0)为函数
f(x)的极大值，x0称为极大值点。
设
f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点
x,有
f(x)?f(x0)，则称f(x0)为函数
f(x)的极小值，x0称为极小值点。
记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 5、 拐点的概念
连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。
注y?6、 单调性的判定定理
设
x3在原点即 是拐点
f(x)在(a,b)内可导，如果f?(x)?0，则f(x)在(a,b)内单调增加； f?(x)?0，则f(x)在(a,b)内单调减少。
f?(x)?0；
如果
记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，
在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，
7、 取得极值的必要条件
可导函数
f?(x)?0；
f(x)在点x0处取得极值的必要条件是f?(x0)?0
8、 取得极值的充分条件
第一充分条件：
设
f(x)在点x0的某空心邻域内可导，且f(x)在x0处连续，则
?x0时，f?(x)?0; x?x0时，f?(x)?0,那么f(x)在x0处取得极大值f(x0)； ?x0时，f?(x)?0；x?x0时，f?(x)?0，那么f(x)在x0处取得极小值f(x0)；
f?(x)同号，那么f(x)在x0处没有取得极值；
（1） 如果x（2） 如果x（3） 如果在点x0的两侧，
记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件： 设函数
f(x)在点x0的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f?(x0)?0，f??(x0)?0
f??(x0)?0，那么f(x)在x0处取得极大值f(x0)； f??(x0)?0，那么f(x)在x0处取得极小值f(x0)
则 （1）如果 （2）如果
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