上海曹杨第二中学附属学校数学圆 几何综合单元测试卷（含答案解
析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，二次函数y=x2-2mx+8m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边且OA≠OB),交y轴于点C，且经过点（m，9m）,⊙E过A、B、C三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E的坐标；
（3）过抛物线上一点P（点P不与B、C重合）作PQ⊥x轴于点Q，是否存在这样的点P使△PBQ和△BOC相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由
【答案】（1）y=x+2x-8（2）（-1，-
2
7171315）（3）（-8，40），（-，-），（-，-4162425） 16【解析】
分析：（1）把?m,9m?代入解析式，得：m2?2m2?8m?9m，解这个方程可求出m的值；
（2）分别令y=0和x=0，求出OA，OB，OC及AB的长，过点E作EG?x轴于点
G,EF?y轴于点F,连接CE，AE,设OF=GE=a,根据AE?CE ，列方过程求出a的值，
从而求出点E的坐标；
2（3）设点P(a, a2+2a-8)， 则PQ?a?2a?8,BQ?a?2，然后分PBQ∽CBO时
和PBQ∽BCO时两种情况，列比例式求出a的值，从而求出点P的坐标.
详解：（1）把?m,9m?代入解析式，得：m2?2m2?8m?9m 解得：m1??1,m2?0（舍去） ∴y?x2?2x?8
2（2）由（1）可得：y?x?2x?8，当y?0时，x1??4,x2?2;
∵点A在点B的左边 ∴OA?4，OB?2 ， ∴AB?OA?OB?6， 当x?0时，y??8， ∴OC?8
过点E作EG?x轴于点G,EF?y轴于点F,连接CE，则AG?,
11AB??6?3 ， 22
，则
， ，
2设
在Rt?AGE中，在
中，
CE2?EF2?CF2?1??8?a?，
∵AE?CE ，
∴9?a2?1??8?a? ，
2解得：a?7 ， 27?? ； 2?? ∴E??1，??（3）设点P?a,a2?2a?8?，
则PQ?a?2a?8,BQ?a?2， a.当?PBQ∽?CBO时，
2a2?2a?88PQCO??， ，即BQOBa?22解得：a1?0（舍去）；
a2?2（舍去）；a3??8 ，
∴P1??8,40? ；
b.当?PBQ∽?BCO时，
a2?2a?82PQBO?，即?， BQCOa?28解得：a1?2（舍去），a2??∴P2??1517；a3?? ， 44?1523??1725?,??；P3??，? ； ?416??416??1523??1725?,??，P3??，? ?416??416?P?综上所述，点P的坐标为：P1??8,40?，2?点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积. （2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.
【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，8?42. 【解析】
试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积=
(OP?DB)?OB(2?6)?2??8，二者相加即为点P的
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上海曹杨第二中学附属学校数学圆 几何综合单元测试卷(含答案解析)
