合肥工业大学历年硕士研究生数理统计课程考试试卷收集（闭卷）
1．设随机变量
X~f(x)（密度函数），且对任意x,f(?x)?f(x),若P{X?u?}??，则对满足：
P{X?a}??的常数a?（ ）
A. u? B. u1?? C. u12(1??) D. u11??2
2．在假设检验中，记H1是备择假设，则我们犯第二类错误是（ ）
A. H1为真时，接受H1. B. H1不真时，接受H1. C. H1为真时，拒绝H1. D. H1不真时，拒绝H1.
3. 设
22则统计量??a(X1?2X2)?b(X3?X2?3X3)的分布及常数应X1,?,X5为总体X～N(0,?2)的样本，
该为（ ）
A. a=-1, b=3, ? C. a=
~t(2) B. a=5, b=11 ?~?2(2)
, b=
15?2, b=
112 D. a=?~?(2)11?25?221 ?~F(1,2) 211??是?的无偏估计，且D(?)?0,则??4. 设?
是?2的（ ）
A. 无偏估计 B . 有效估计 C . 相合估计 D .以上均不正确.
1． 设总体X的一样本为：2.1, 1.5, 5.5, 2.1, 6.1, 1.3 则对应的经验分布函数是：
???* Fn(x)?????_______________. 3. 设F(x)、Fn* .
2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是均匀分布U(0,?)总体中的简单随机样本,则总体方差的最大似然估计值为
(x)分别是总体X及样本X1,X2,?,Xn的分布函数与经验分布函数，则格列汶科定理指出：在样本容
xb量n??时，有 , 4. 若非线性回归函数5. 设
y?100?ae?(b?0),则将其化为一元线性回归形式的变换为________________________.
2
X1,X2,?,Xn是X的样本，当方差?未知时，且样本容量很大(n>50)时，则对统计假设：
H0:???0,H1:???0，H0的拒绝域是：
1
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6.从总体中抽容量为6的样本，其观测值为-1；1.5；-2.8；2.1；1.5；3.4。则其经验分布函数7.如随机变量
Fn(x)?___________________.
X~F(n,n)，则P(X?1)?—————。
8.单因素方差分析的平方和分解式为——————————————；其中，组内离差平方和是——————————；组间离差平方和是——————————。
1nYY?(?Xi)2,Z?2,X,?,Xn独立同服从Nni?1S （0，1）9.已知1分布，记1n1n2S?(Xi?X),X??Xi?n?1i?1ni?1 其中，
2，则Z的分布为____________.
10. 从一大批产品中抽取100件进行检查，发现有4件次品，则该批产品次品率0.95的置信区间为_____________. 1. 设总体X服从两点分布，即
p(X?1)?p?1?p(X?0)，其中p是未知参数。(X1,?,X5)是从总体中抽出
的简单随机样本，则(X1,?,X5)的联合概率分布2个“0”，则此样本的经验分布函数Fn(x)?
f(x1,?,x5)? ；如此样本观察值中有3个“1”，
。
2.
3.
4.
1m1n2设X1,?,Xn是从总体X抽取的简单随机样本，X?Xi，且Sn??(Xi?X)2，在样本容量很大，?mi?1ni?12
总体方差?未知时，则总体数学期望??E(X)的置信度1??的置信区间为 。
1n1n22总体X~U(?,?)，X1,?,Xn是X的简单随机样本，X??Xi，S?(Xi?X)2，则?ni?1n?1i?1E(X)? ，E(S2)? 。
1n22X1,?,Xn是从总体N(?,?)抽取的简单随机样本，?,?是未知参数。如X??Xi，
ni?1Q??(Xi?X)2，则检验假设：H0:??0检验统计量T?____________。
2i?1n?= ， （?，?+1）（ ??0）总体的简单随机样本，则?矩估计?X1,?,Xn是来自均匀分布U? ?的无偏估计（填入：”是” 或者”不是”）。 且?5.
6. 对可化线性回归函数
y?1?Aebx，作代换u? ，v? ，则对应的线性方程为：
。
1. 设总体X的一样本为：2.0, 1.5, 3.0, 2.6, 6.1, 2.0 则对应的经验分布函数是： Fn*(x)?
2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是总体服从指数分布的简单随机样本，对应的密度函数为
x?1???e,x?0f(x)???(??0)，且X?0,x?0?为样本均值时，E(X)的极大似然估计为 ；
2
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3. 设X与Y是来自两个相互独立的正态总体N与N，且容量分别为n1及n2的简单随机样本的（?1，?1）（?2，?2）样本均值，则Z22?X?Y的分布_______________.
4. 某批产品的任取100件其中有4件次品，则这批产品的次品率p的置信度为0.95的置信区间 . 5. 若非线性回归函数
y?a0?Aa?Bx（a0是已知参数,
A与B是未知回归参数）
则将其化为一元线性回归时对应的变换为 。
1 总体X的密度函数是
?e?(x??),x??,?f(x,?)??0,x??.， ?^^是未知参数，
^^X1,X2,...Xn为简单随机样本。
（1）分别求?的矩估计
^?1??1(X1,?,Xn)，极大似然估计?2??2(X1,?,Xn)
（2）?1，?2是否为?的无偏估计？并说明理由。
^、（本题10分） 考察甲与乙两种橡胶制成轮胎的耐磨性，从甲、乙两种对应的轮胎中各任取8只，这8对轮胎分别安装到任取的八架飞机的左右两边作耐磨试验，经过一段时间的起降，测得轮胎的磨损量如下（单位：mg）： 甲 490 510 519 550 602 634 865 499 乙 492 490 520 570 610 689 790 501
假设这两中轮胎的磨损量服从正态分布，在?＝0.05下，试检验甲的磨损量比乙是否明显低。
二、（本题10分） 设总体1） 试证统计量ZX~N(0,?2)，X1,?,Xm;Y1,?,Yn是X212n的样本，
?CX1???XmY???Y服从t分布，确定其自由度与常数C，（给出推导过程）；
2） 若t分布的密度函数为
fT(t)（附表给出），试确定??X1???XmY???Y212n的密度函数f?(z)
?01?三、（本题10分）设总体X～??（服从0-1分布），X1,?,Xn为X的样本，试求： ⑴ 参数p的极大似
1-pp???L；⑵ p?L关于p的的无偏估计性； ⑶p?L是否关于p优效（有效）估计，且给出推导过程。 然估计p
四、（本题12分） 为检验一电子产品在相同环境下的两种不同的试验方案是否有差异，且假设这两种方案下产品的指标分别是
X与Y均服从正态分布，现任取了6对试验，试验数据如下： A方案 2.1 3.0 2,4 1.9 3.0 1.8 3
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B方案 1.9 3.1 2.1 2.2 2.8 1.9 问在显著水平0.05时，是否可以认为A方案产品该项指标明显大比B方案产品该项指标明显大？
。
附录1： ?＝0.05 正态分布 t分布表 ?分布表 F分布表 2u??1.64 t?/2(3)?3.182 ??(3)?7.815 F?(3,10)?3.71 2u?2?1.96 t?2(5)?2.5706 ??(4)?9.488 F?(3,15)?3.01 2 t?(15)?1.7531 F?(1,3)?10.13 t?/2(15)?2.1315
二、
（10分）设
X1,X2,?,Xn 为来自具有有限方差?22
?0的总体X的简单样本，则
（1）试推导样本方差S的数学期望； （2）如果总体是正态分布N(?,?0)三、（10分） 总体
2其中?0为已知参数，求未知参数?的优效估计量。
22Xn服从正态分布N(0,?)，X1,X2,.....Xn,Xn?1,...,Xn?m 是来自总体X的简单随机样本。记
统计量Y?nm?Xii?1n?m，求Y的分布（仅写出服从何种分布，不需密度函数的表达式）。
22
i?n?1?Xi四、（12分） 设总体X具有分布律 X 1 2 3 pk ?2 2?(1??) (1??)2 的矩估计值和最大似然估计值。
其中?(0??
?1)为未知参数。现有样本x1?1,x2?2,x3?1,求参数? 4
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2012年10月8日所讲题目
1、设有一正五面体，各面分别编号为1、2、3、4、5，现任意地投掷直到1号面与地面接触为止，记录其投掷的次数，作为一盘试验。作200盘这样的试验，试验结果如下： 投掷次数： 1 2 3 4 ?5
频 数： 48 36 22 18 76 在?＝0.05时，检验此五面体是否均匀。
2012年10月15日所讲题目 1、对一元方差分析模型
Xij????i??ij,i?1,2,?,r,j?1,2,?,ni ,假定
?ij2N(0,?),
相互独立同服从分布
（1）试推导出离差平和分解公式；
（2）如此模型中的因子A有四个水平, 每个水平做5次试验. 请完成下列方差分析表： 来源 因子A 误差e 总和 问在显著水平?
2、设A、B、C、D四个地区某项经济指标均服从方差相同的正态分布，现从这四地区抽取个数分别为
平方和 4.2 7.4 自由度 均方 均方比 ?0.05下,因子A不同水平是否有显著差异? F0.05(3,16)?3.24
n1?4,n2?3,n3?2,n2?5,的样本，n?14 经计算得：
地区 A B C D 行和? 5
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?Xj?1ij50 30 39 37 156 ?Xj?12ij658 308 765 361 2092
⑴ 在?＝0.05时，试检验这四个地区的此项经济指标是否存在显著差异;并完成下面的方差分析表： 来源 组间 组内 平方和 自由度 均方 F值 QA? QE? fA? QA/fA? fE? QE/fE? F? ? ⑵ 试判断哪个地区的指标最高，哪个指标最低（给出理由）。
3、设A、B、C、D四个工厂生产相同的电子产品，假定每个工厂的产品使用寿命均服从方差相同的正态分布，现从四个工厂抽取个数分别为n1=5、n2=4、n3=5、n4=6的样本，经计算得：
A厂 ijB厂 98.2 C厂 132.1 D厂 148.0 行和? 495.5 ?Xj?1120.2 ?Xj?12ij2562.32 2408.18 3848.20 3826.18 12644.88 ⑴ 在?＝0.05时，试检验这四个工厂生产的产品使用寿命是否存在显著差异; ⑵ 试判断哪个厂的电子产品使用寿命最长，哪个寿命最短（给出理由）。
2012年10月17日所讲题目 1、方差分析的基础是________
A． 离差平方和分解公式. B. 自由度分解公式. C. 假设检验. D. A和B同时成立.
2、设一正五面体，分别涂成红（R）、黄（Y）、蓝（Bu）、白（W）与黑色(Bl)，现任意的抛掷200次，面朝下的颜色的结果记录如下：
抛掷次数 R Y Bu W Bl 频数 28 48 32 56 36 试检验在?＝0.05时，此五面体是否均匀。
6
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3、用某种计算机程序产生随机个位数，在300次试验中，0,1,2,3，?,8,9相应出现了22,28,41,35,19,25,25,40,30,35.问在显著水平?
2X,X,?,XX～N(0,?)的样本，试确定统计量T?1(X)2 12n4、设为总体?ini?1n?0.05时，0至9这十个数字是否等可能由此计算机产生？说明理由。
的分布，求其密度函数。
5、设总体
X～0-1分布，⑴ 试求参数p的极大似然估计?L；⑵ ?L关于p
的无偏估计性; ⑶
?L是否为p的优效（有效）估计。
6、为了研究色盲是否与性别有关,随机抽取1000人进行调查，结果如 下：
类型\\性别 正常 色盲 总和 男 442 38 480 女 514 6 520 总和 956 44 1000 (1)试据此判断色盲是否与性别有关（?是女性更容易患色盲？
10月29日所讲题目
?0.01）；(2)你认为是男性还
1、设对变量x、y作了7次观测见下表：
满足回归模
xi yi 2.0 3.0 3.6 4.2 5.2 6.2 8.2 2 4 8 10 11 12 16 型：
yi????xi??i2??N(0,?) (i?1,2,?,7) 相互独立，试求： i 其中：
2
⑴ 经验回归直线； ⑵ 对方差?作估计；⑶ 对x、y的线性性作显著性检验(可以挑选一种检验方法)；⑷ 对时作y的预测区间。（其中：在?＝0.05）
2Y??＋?x??,?~N(0,?)2、 对一元线性回归模型中
x0?4.8
，
(xi,Yi)(i?1,2,?,n)的最小二乘估计是
是一组观测值，则
Yi??＋?xi??i,而?i~N(0,?2) i?1,2,?,n 且相互独立，且参数???，试作： ⑴ 证明
?????是的无偏估计； ⑵ 推导出的分布
7
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3、在钢线碳含量x对于电阻效应y的研究中, 得到了以下数据:
x y 2.5 3.5 4.0 5.2 6.3 8.0 1.3 2.5 2.5 3.5 4.2 5.0 9.1 （1）求出y对x的经验回归直线方程； （2）对回归直线的显著性进行检验。 （3）求
4、两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为
x0?6时，y0的置信水平为0.95预测区间
x?2600,y?2700，（单位：元）。样本标准差相应为s1?81,s2?105。假设年存款余额服从正态分布，试比较
两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异。 (注：?
5、在钢丝的含碳量（x）对于电阻（Y）的效应研究中，得以下数据：
满足回归模型：
0.12 0.28 0.40 0.50 0.80 ?0.10，F0.05(20,15)?2.33,F0.05(15,20)?2.57,t0.05(35)?1.69,t0.10(35)?1.31)
xi Yi 2 4 6 10 12 yi????xi??i 其中：
?i?N(0,?2) (i?1,2,?,5) 相互独立，试求：⑴ 经验回归直线方程； ⑵ 对方差?2作无偏估计；⑶ 对
的线性性作显著性检验(可以挑选一种检验方法)；⑷ 对
2Y??x??,?~N(0,?)6、对一元线性回归模型中
x、y
x0?0.6时作y的0.95预测区间。（其中：显著水平?＝0.05）
(xi,Yi)(i?1,2,?,n)是一组观测值，误差 ?i
，
i?1,2,?,n 独立同分布。⑴ 求参数?
的最小二乘估计是
???????；（2）问是否为的无偏估计，并确定的分布
8
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一、填空题（15分，每题3分）
1. 设X1,X2,....Xn独立同服从正态分布N(?,?2), ， 则
?(Xi?1ni??)22?~ ________ 。
e??.?x,x?0,1,2,...., ，(X1,X2,....Xn)为一个简2.已知总体X 服从参数?(?0) 的泊松分布,即P(X?x)?x!单随机样本，则样本的联合概率分布_______________________ 。
3. 在某项试验的1000个电子元件中，共有100个失效，则以95% 的置信水平，这批产品失效率
p 的置信区间是
______________________ 。
4. 方差分析实际上是一个假设检验问题，它是检验 _______________ 正态总体、______________ 是否相等的统计分析方法， 常用的检验是______ 检验法。
5. 把回归方程
y?11?e??1??2x, （
?1,?2是未知参数）化为线性回归方程的变换是
_______________________________ 。
二（12分）、设总体X分布密度函数为
?e?(x??),x??f(x,?)??,??0,x??是未知参
数，
X1,X2,?,Xn 是其简单随机样本。
?； (2) 问??是否为无偏估计？说明理由。 (1) 求?的极大似然估计?
三（18分）、设
p表示每次投硬币出现正面的概率(0?p?1)，现独立投掷硬币n次，第i次投掷硬币的情况记为Xi：
若出现正面，Xi样本。 （1）试求
^1??0?1；若出现反面，Xi?0，即X1,X2,?,Xn是从两点分布?? 的总体中抽取的简单随机
?1?pp?^p的矩估计p 。
（2）问
p是否为p 的优效估计，说明理由。
9
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（3）若投掷次数n?100，其中正面出现的次数为60次， 问该枚硬币是否均匀？即检验： 原假设H0
四（12分）、某公司使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A生产的样本22件，测得其平均质量为2.36（kg）,样本标准差0.57（kg）。取使用原料B生产的样本24件，测得其平均质量为2.55（kg）,样本标准差0.48（kg）。设产品质量服从正态分布，且两个样本独立。问能否认为使用原料B生产的产品平均质量较使用原料A显著增大？（取显著水平?
五（12分）、 按Mendel 遗传定律，让开淡红花的豌豆随机交配，子代可开出红花、淡红花、白花三类，其比例为1:2:1， 为验证这一理论，先特别安排了一个实验， 得到的开红花、淡红花、白花的豌豆株数分别为26、66、28，问在显著水平?时，这些数据与Mendel遗传定律是否一致?
六（16分）、现今越来越多的外国人学习汉语，某孔子学院设计了3种汉字讲授的方法，随机抽取了16个汉语基础相近的学生进行试验。试验后对每一位学生的汉字理解记忆水平打分，满分为10分，16名学生的分数如下：
讲授法一 8.7 9.3 8.6 9.0 8.4 讲授法二 8.4 6.6 7.0 7.4 7.6 讲授法三 7.1 6.2 7.4 7.8 7.9 8.6 : p?11 ? 备择假设H1: p? 。（??0.05）。 22?0.05 ）
?0.05y1? y?
(1) 指出方差分析中的因素、水平；
y2? y3? (2) 分别计算3种汉字讲授方法下学生相应分数的平均值表；
y1,y2,y3以及所有参加测试的学生的平均得分y,并填入上
(3) 在显著性水平0.05下，完成下列方差分析表，并指出三种讲授方法对学生的汉字理解记忆水平有无显著性差异；若有显著性差异，指出哪种方法更好。
来源 因素 误差 总和
离差平方和 自由度 均方离差平方和 F值 10
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七（15分）为研究学生在期末考试前用于复习某课程的时间X (单位:小时)和考试成绩Y (单位:分) 是否有关系, 一名
研究者抽取了8名学生构成一个简单随机样本，取得数据如下：
复习时间X 考试成绩Y 假设考试成绩服从正态分布。 (1)求出Y对X的经验回归直线方程； (2)对建立的回归方程做显著性检验（?(3)求X
附：相关上分位点数值：(?20 16 34 23 27 32 18 22 64 61 84 70 88 92 72 77 ?0.05）；
?25时，考试成绩Y 置信水平为0.95的预测区间。
?0.05)
2222(2)?5.99,??(3)?7.81,??(2)?7.38,??(3)?9.35. u??1.64,u??1.96; ??222t?(9)?1.8331,t?(10)?1.8125,t?(9)?2.2622,t?(10)?2.2281,t?(6)?1.9432,t?(6)?2.4469222
t?(8)?1.8595,t?(8)?2.3060,t?(44)?1.64.
2F?(2,13)?3.81,F?(2,13)?4.97,F?(3,16)?3.24,F?(3,16)?4.08,22F?(1,6)?5.99,F?(1,6)?8.81,F?(21,23)?2.3422?1n说明：本试卷涉及的样本方差为S?(Xi?X)2 。 ?n?1i?12
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合肥工业大学数理统计期末试卷往年收集
