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初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案）
1. 锐角三角形ABC中，?BAC?45?，BE、CF是两条高，H为△ABC的垂心，M、K分别是BC、
AH的中点.证明：MK、EF和OH共点，这里O为△ABC的外心.
解析 如图，由条件?BAE?45?，可知△AEB和△AFC都是等腰直角三角形，而O为AB、BC的中垂线上的点，故EO?AB，FO?AC，于是EO∥CF，FO∥BE，从而四边形EOFH为平行四边形.故EF与OH的交点为EF的中点.
CEHMAKOFB
另一方面，M、K为BC、AH的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知
11EM?MF?BC，EK?KF?AH.即四边形EKFM为菱形，所以EF与KM的交点亦是EF的中点.
22从而命题获证.
2. 四边形SPNM与PFET都是正方形，且点S、P、T共线，点N、P、F共线，连结MT、SE，
点S在MT上的射影是点A，点T在SE上的射影是点B，求证：点A、P、B共线.
MANSPFTE
解析 设AB与ST交于点P?，又设?ATS??，?TSE??.于是由?ASB??ATB?180?，有 SP?S△ASBAS?BS???tan??cot? P?TS△ATBAT?BTMSSTMSSP， ???STTETEPT即点P与点P?重合.
3. 在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取异于顶点的K、L、M、N，已知KL∥MN.?证明KM与LN的交点O在矩形的对角线BD上.
DNMOCLAKB
解析 连结OB、OD.
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KLLO，?KLO??MNO. ?MNNO又因BC∥AD，所以?BLO??DNO，则?BLK??DNM；因此Rt△BLK∽Rt△DNM. 因为KL∥MN，KM与LN相交于O，所以△KLO∽△MNO，可得
BLLKLO，?BLO??DNO，所以△BLO∽△DNO，可得?BOL??DON，即B、O、??DNNMNOD共线.
4. 证明：如果一个梯形内的n（?2）个点到梯形四边距离之和相等，那么这n个点共线.
解析 如图，延长梯形ABCD的腰BA、CD交于点E.设P为这n个点中的一个点，过P作一直线，交EB、EC于点G、H，使得△EGH为等腰三角形（EG?EH）. 综上，
EAGPBQDHC
设Q是这n个点中的另一个点，我们证明Q在直线GH上.
由条件Q到EG、EH的距离和等于P到EG、EH的距离和.若Q在四边形AGHD内，则S△EQG? S△EQH?S△EGH，从而EG?d(Q,EG)?EH?d(Q,EH)?EG?d(P,EG)?EH?(P,EH)，这里
d(X,YZ)表示点X到直线YZ的距离.结合EG?EH，可得d(Q∥EG)?d(Q,EH)?d(P,EG) ?d(P,EH)，矛盾.类似地，若Q在四边形BGHC内，则d(Q,EG)?d(Q,EH)?d(P,EG)?d(P, EH)，亦矛盾.故Q在线段GH上.
5. 设四边形仅有一个内角是直角，且两对角线相等，则对边中垂线交点与直角顶点共线.
解析 如图，设四边形ABCD中，?B?90?，作矩形ABCE，则BE?AC?BD，又设BC的中垂线GP与AD之中垂线FP交于P，则易知PE?PA?PD，于是B、P均在DE中垂线上.同理AB、CD中垂线之交点也在DE中垂线上，故而结论成立.
DFAPEBGC
6. 等腰梯形ABCD中AB?CD.将△ABC绕点C旋转一个角度，得一个新的△A?B?C.证明：线段A?D、
BC和B?C的中点共线. 解析 如图，设A?D、 ?ABC??，BC、B?C的中点分别为X、W为CA?的中点.并设?ACA???，Z，Y、
111即△XWZ为等腰三角形，并且?XWZA?B??AB?CD?WX，
222等于180?减去A?B?与CD所成的角?.
WX∥CD，则ZW∥A?B?，且ZW?最新Word
ZCYB'BWXA'AD
注意到，????(180?????)?2??180???，所以，?XWZ?360????2?，从而
1??XZW?(180???XWZ)????90?.于是
22?CZX????XZW?90??另一方面，YZ∥BB?，而
?2.
1???CB?B?(180???)?90??，故?CZY?90??.
222综上，?CZX??CZY.故X、Y、Z共线.
7. 直角三角形ABC中，AB是斜边，CH为斜边上的高，以A为圆心、AC为半径作⊙A.过B作⊙A的割线，交⊙A于点D和E，交CH于点F（D在B与F之间）.在⊙A上取一点G，使得?ABG??ABD，且G与D不在AB的同一侧.证明：E、H、G三点共线.
ECFAHG'DB
解析 延长EH交⊙A于点G?，我们证明G与G?重合，即证?G?BA??DBA.
由?ACB?90?知BC为⊙A的切线，故BC2?BD?BE.再在Rt△ABC中，CH为高，从而由身影定理可知BC2?BH?BA，所以BD?BE?BH?BA，故E、D、H、A共圆，因此?EDA??EHA??BHG?. 注意到EA?DA，故?EDA??DEA??DHB（这里再次用到E、D、H、A共圆），结合前面的结果，可知?BHD??BHG?.
由圆的对称性，即得?HBG???HBD. 8. 设锐角三角形ABC，且?MHF??NHE，CF为高，N分别在BF、AD、BE、AE上，H是垂心，M、
求证：BM、CN的中垂线之交点在BC上.
解析 如图，若设BM、CN中垂线分别交BC于K、K?（K、K?在图中未画出），只要证明BK?CK??BC，即知结论成立.
AFMBHDNEC
BMCNBFCEBCBCBMCN由于BK?，CK??，而故只需证明????BC，??
2cosB2cosC2cosB2cosC222cosB2cosC最新Word
BFCENEMF或即可. ??2cosB2cosCcosCcosBMFFHAHsin?BADcosB由条件知△MFH∽△NEH，故.结论证毕. ???NEHEAHsin?CADcosC9.
?内一点，l分别交△ABC的内切圆切边AC、BC于点M、N，直线l与该内切圆切于劣弧MNNC、MC于点P、Q.T为AP与BQ的交点.证明：T在线段MN上.
CQMTAYBXPNl
解析 设AP交MN于点T1，△ABC的内切圆切l与AB于点X、Y.AP交XY于点T2，先证：T1与T2重合.
由正弦定理，可知
PT1PN， ?sin?CNMsin?PT1NAT1AM， ?sin?AMNsin?AT1M结合?PT1N??AT1M，?AMN?180??CMN?180??CNM，可知所以，由PX?PN及AM?AY，可知
PT1PNPTPX.同理可证：2?.?AT1AMAT2AYPT1PT2，即T1与T2重合.这表明AP过MN与XY的交点. ?AT1AT2类似可知，BQ与MN与XY的交点.所以，AP与BQ的交点在线段MN上.
10. 在△ABC中，?A?90?，AB?AC.D、E、F分别为边BC、CA、AB上的点，使得四边形AFDE为正方形.设lA为过A所作△ABC的外接圆的切线.证明：BC、EF和lA三线共点.
CEADFBG
解析 设lA交直线BC于点G，连GF延长交AC于点E?.只需证明E与E?重合. 记△ABC的三边长分别为a、b、c，而正方形AFDE的边长为x.则由
DFFBxc?x，可知?，故?ACABbc最新Word
bc. b?c由AG为△ABC外接圆的切线，得?BAG??C，而?AGC为公共角，故△ABG∽△CAG，从而x?GBBGAG?AG?c2ABBGAGGBc2ac2????，于是，即，从而GB?2，结合?????GCAGGC?CA?b2b?c2a?GBb2CAAGGC2BDDFxacDFac2acabcb2ab2，故GD?2，.所以??，可知BD?? ??GC?GB??b?c2b?cb2?c2c2b2?c2BCCAbb?cCE?GDcb2. ?，即CE??b?cGCbbcb2而CE?b?x?b?.所以CE?CE?，故E与E?重合，命题获证. ?b?cb?c11. AC、BD均为圆的切线，AB是该圆的一条能弦，CD与圆交于点Q、P，已知AP?BP，点M为AB中点，求证：点M、R、Q共线，这里R为AD与BC的交点.
ACQPDRMB
解析 连结MC、MR、MD，易知题目无非是要证明 S△CMRCQ. ?S△DMRDQ易知S△CMR11AC2BD2，DQ?，于是问题转变为求证 ?S△ACR，S△DMR?S△BDR，CQ?DPCP22S△ACRAC2?BD. ?S△BDRBD2?CP由切线性质知?CAB??DBA，于是根据三角形面积公式，有 S△ACRAR?CRS△ABCS△ACDACS△ACD， ?????S△BDRDR?BRS△DBCS△ABDBDS△CBD于是待证式又变为求证 S△ACDAC?DP. ?S△CBDBD?CP事实上， S△ACDS△CBDCD?S△ACPDPS△ACPDPACCP， ?????CDCPSCPBD△PBD?S△PBDDP这是由于AP?BP，且?CAP??DBP.
初中数学竞赛 几何专题：点共线问题(含答案)
