2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的斜率与直线方程练习苏教版

9.1 直线的斜率与直线方程

考点一 直线的倾斜角与斜率

1.直线x-y+1=0的倾斜角为 A.30°

B.45°

( )

C.120° D.150°

( )

2.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则

A.k1

B.k3

2

3.(2020·石家庄模拟)直线x+(a+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 ( )

A. B.

C.∪ D.∪

4.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________. 【解析】1.选B.由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tan α=1, 又0°≤α<180°,故α=45°.

2.选C.由图可知k1<0,k2>k3>0,所以k2>k3>k1,故选C.

3.选B.由直线方程可得该直线的斜率为-,又-1≤-<0,所以倾斜角的取值范围是

.

4.因为kAC==1,kAB==a-3.

由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4. 答案:4

- 1 -

1.倾斜角α与斜率k的关系:

(1)当α∈时,k∈[0,+∞),且倾斜角越大,斜率越大.

(2)当α=时,斜率k不存在.

(3)当α∈时,k∈(-∞,0),且倾斜角越大,斜率越大.

2.斜率的两种求法:

(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.

(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.

【秒杀绝招】 第3题可以用检验答案的方法求解,假设倾斜角α=,则斜率k=-立,故A、C、D都不对,所以选B. 考点二 求直线的方程

x的倾斜角的的直线方程.

=1不成

【典例】1.求过点A(1,3),倾斜角是直线y=-2

2

2.经过圆C:(x+5)+(y-2)=1的圆心,且在x轴上截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程. 3.求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程. 【解题导思】

序号 1 2 3

联想解题

看到点与斜率想到直线方程的点斜式 看到截距想到直线方程的截距式 看到字母想到对斜率是否存在的讨论

【解析】1.因为y=-x的斜率为k=-,其倾斜角为120°,所以所求直线的倾斜角为60°,

其斜率为,

- 2 -

所以直线方程为y-3=(x-1),

即直线方程为x-y+3-=0.

2.因为圆C的圆心为(-5,2), 当直线不过原点时,设所求直线方程为所以直线方程为x+2y+1=0;

当直线过原点时,设直线方程为y=kx,

+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,

则-5k=2,解得k=-,

所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0. 故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0. 3.①当m=2时,直线l的方程为x=2; ②当m≠2时,直线l的方程为即2x-(m-2)y+m-6=0.

因为m=2时,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即为x=2, 所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.

1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用:若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零.

3.截距是数,不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标,在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.

=,

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1.(2020·邯郸模拟)经过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是

( )

B.y=1

C.x=1

D.y=2

A.x=2

【解析】选A.因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为.由已知,所求直线的倾斜角为

-=,斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.

2.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为________.

【解析】设所求直线的方程为+=1.

因为A(-2,2)在直线上,所以-+=1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,

所以|a|·|b|=1.②

由①②可得(i)或(ii)

由(i)解得或方程组(ii)无解.

故所求的直线方程为+=1或+=1,

即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程. 答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0

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考点三 直线方程的综合应用 命

考什么:(1)与直线方程有关的最值问题.(2)数形结合思想.(3)基本不等式.(4)函

题

数的单调性.

精

怎么考:以选择题或填空题形式出现

解

新趋势:数学建模核心素养的应用

读

1.求解与直线方程有关的最值问题

学

基本不等式或函数法求最值.

霸

2.含有参数的直线方程可看作直线系方程,分离参数法求出定点.

好

3.交汇问题

方

(1)三角形和四边形的面积.(2)基本不等式.

法

(3)函数的单调性.

与不等式相结合的最值问题

【典例】当k>0时,两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为________.

【解析】直线2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0).由解得y=,所以

两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形的面积为×1×=,

又k+≥2=2,

当且仅当k=时取等号,故三角形面积的最大值为.

答案:

如何用直线方程求出三角形的边长?

提示:根据直线方程求出交点坐标进而求得三角形的边长.

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