2017-2024学年高中数学 第二章 参数方程 2.3.2-2.3.3 抛物线、双曲线的参数方程学案 新人教B版选修4-4
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2．3。2 & 2。3。3 抛物线、双曲线的参数方程
[对应学生用书P34]
［读教材·填要点]
1．抛物线的参数方程
抛物线y＝2px的参数方程为错误!。 2．双曲线的参数方程
（1）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线错误!－错误!＝1的参数方程是错误!，参数θ的取值范围为0≤θ≤2π且θ≠错误!，θ≠错误!。
(2）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线错误!－错误!＝1的参数方程是错误!,0≤θ≤2π。
［小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，θ的几何意义是什么？
提示：参数θ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角），而不是OM的旋转角．
2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置?
提示：如果x对应的参数形式是asec θ,则焦点在x轴上； 如果y对应的参数形式是asec θ,则焦点在y轴上．
3．若抛物线的参数方程表示为错误!则参数α的几何意义是什么?
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提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．
错误!
抛物线参数方程的应用 [例1］ 连接原点O和抛物线2y＝x上的动点M，延长OM到P点,使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
［思路点拨] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线
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2017-2024学年高中数学 第二章 参数方程 2.3.2-2.3.3 抛物线、双曲线的参数方程学案 新人教B版选修4-4 的参数方程并表示出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．
[精解详析] 设M（x，y）为抛物线上的动点，P（x0，y0)在抛物线的延长线上,且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为
2
｛
x＝2t，
y＝2t2。
由中点坐标公式得错误!
变形为y0＝错误!x错误!，即x＝4y. 它表示的为抛物线．
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数（将x，y表示成关于参数的函数）,然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法,而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
1．已知曲线C的参数方程为
｛
x＝sin α，y＝cosα2
α∈[0,2π），曲线D的极坐标方程为
ρsin错误!＝－错误!.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程;
(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由． 解：（1）由错误!α∈［0,2π） 得x＋y＝1，x∈［－1，1]． （2)由ρsin错误!＝－错误!得 曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0。 由错误!得x－x－3＝0.
解得x＝错误!?［－1，1］，故曲线C与曲线D无公共点。
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双曲线参数方程的应用 [例2] 在双曲线x－y＝1上求一点M，使M到直线y＝x的距离为错误!.
[思路点拨] 本题考查双曲线的参数方程的应用．解答本题需要先求出双曲线的参数方程,设出M点的坐标,建立方程求解．
［精解详析］ 设M的坐标为（sec θ，tan θ），由M到直线x－y＝0的距离为错误!，得错误!＝错误!.
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高中数学第二章参数方程2.3.2-2.3.3抛物线、双曲线的参数方程学案新人教B版选修4-4(20
