高中数学知识点（表格）教学教材 - 图文

线与圆的方程 线与方程 斜率 点斜式 倾斜角为?，斜率 k?tan??y?y0?k(x?x0) y?y1x?x1xy(x1?x2,y1?y2) ?在x,y轴截距分别为a,b时??1。 直线两点式 y?yx?xab2121方程 AC22，B?0时斜率k??，纵截距?。 一般式 Ax?By?C?0（A?B?0）BB当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时， l1//l2?k1?k2；如果不重合直平行 线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1//l2． 位置当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1?l2?k1?k2??1；若两条直线l1,l2中的关系 垂直 一条斜率不存在，则另一条斜率为0时，它们垂直． 交点 点点距 距离公式 点线距 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。 22PP?(x?x)?(y?y)两点之间的距离。 P(x,y),P(x,y)122121111222y2?y1（x1?x2），(x1,y1),(x2,y2)在直线上。 x2?x1在y轴截距为b时y?kx?b。 点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?CA?B222。 线线距 定义 圆 圆与方…… 程 直线与圆 圆与圆 标准 方程 一般 方程 …… 代数法 几何法 代数法 几何法 l1:Ax?By?C1?0到l2:Ax?By?C2?0距离d?圆心坐标(a,b)，半径r， 方程(x?a)?(y?b)?r。 222C1?C2A?B2． 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。 标准方程展开可得一般方程、一般方程配方可得标准方程。一般方程中圆心坐标为x?y?Dx?Ey?F?0 ( 其中D2?E2?4F?0) 相交 方程组有两组解 d?r 方程组有两解 22D2?E2?4FDE。 (?,?)，半径222相离 方程组无解 d?r 方程组无解 相切 方程组有一组解 d?r 方程组有一组解 r1?r2?d?r1?r2 d?r1?r2或d?r1?r2 d?r1?r2或d?r1?r2 【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】 18.圆锥曲线的定义、方程与性质 圆锥曲线的定义、方程与性质

定义 平面内与两个定点F1，标准方程 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 椭圆中a?c F2的距离之和等于常数椭圆 2a（大于F1F2?2c）的点的轨迹叫做椭圆． 【b?a?c，a?b】 平面内与两个定点F1，双F2的距离之差的绝对值曲等于常数2a（小于线 FF?2c）的点的轨迹12叫做双曲线． 222x2y2?2?1 2abx?a(?a,0)y?b (0,?b) (?c,0) y2x2?2?1 2aby?a (0,?a) x?b (?b,0) x?a (?a,0) y?R y?a (0,?a) x?R (0,?c) (?c,0) x2y2?2?1 2aby2x2??1 a2b20?e?1? x轴 ce? y轴 a坐标原点 ? 双曲线中a?c e?1 (0,?c) 11

【b?c?a】 222y2?2px 平面内到一个定点F和一条定直线l（定点F不抛在定直线l）距离相等的物点的轨迹是抛物线。 线 【焦点到准线的距离等于p，p?0，焦参数】 y2??2px x?2py x??2py 22x?0 y?R x?0 y?R y?0 x?R (0,0) p(,0) 2p(?,0) 2p(0,) 21 x轴 y轴 y?0 x?R p(0,?) 2【离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比】 bax， y??x。 abpppp2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是x??,x?,y??,y?。

2222注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方程分别为y??*19. 圆锥曲线的热点问题 概念 曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)?0的解，以f(x,y)?0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程f(x,y)?0的曲线、方程f(x,y)?0为曲线C的方程。 直接法 把动点坐标直接代入已知几何条件的方法。 定义法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）。 曲曲线 动点P?x,y?随动点Q?x0,y0?运动，Q在曲线C:f?x,y??0上，以x,y表示与 代入法 线x0,y0，代入曲线C的方程得到动点轨迹方程的方法。 方方求法 把动点坐标(x,y)用参数t进行表达的方法。此时x??(t),y??(t)，消掉t即程程 参数法 得动点轨迹方程。 与 轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数即圆交规法 得轨迹方程的方法。 锥曲含义 含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。 线定点 把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲解法 热线系恒过的定点。 点热含义 不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。 定值 问点解法 建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关。 题 问含义 一个量变化时的变化范围。 题 范围 建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或解法 者解不等式。 含义 一个量在变化时的最大值和最小值。 最值 解法 建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值。 *20.概率 如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的定义 概率 频率mm作为事件A发生的概率的近似值，即P?A??。 nn①包含关系；②相等关系；③和事件；④积事件. 事件A和事件B在任何一次实验中不会同时发生 事件A和事件B，在任何一次实验中有且只有一个发生。 类比集合关系。 0?P(A)?1， P(?)?0， P(?)?1。 事件A,B互斥，则P(A?B)?P(A)?P(B)。 12 基本关系 事件互斥事件 关系 对立事件 基本性质 性质 互斥事件 对立事件 特征 古典概型 计算公式 特征 几何计算公式 概型 事件A与它的对立事件A的概率满足P(A)?P(A)?1. 基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性 P(A)?m， n基本事件的个数、m事件A所包含的基本事件个数。 n构成事件A的测度试验全部结果所构成的测度基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。 P(A)? *21.离散型随机变量及其分布 概念 随机变量及其分布列 分布列 性质 条件概率 离事件的散独立性 独立事件 型n次独立 随重复试验 机变超几何 量分布 及其分典型 二项分布 布 分布 随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫做离散型随机变量。 离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格（1）pi。 ?0(i?1，2，，n)；（2）p1?p2??pn?1。 P(AB)。 P(A)概念：事件A发生的条件下，事件B发生的概率， P(B|A)?性质：0≤P(B|A)≤1． B,C互斥， P(B C|A)?P(B|A)?P(C|A)．事件A与事件B满足P(AB)?P(A)P(B)，事件A与事件B相互独立。 每次试验中事件A发生的概率为p，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生kkp(1?p)n?k，(k?01，，2，，n)。 k次的概率为P(X?k)?Cnkn?kCMCN?MP(X?k)?，k?0，1，2，，m，其中m?min?M，n?，且n≤N，nCN且n?N,M?N,n，M,N?N?．＂ kkn?k分布列为：P(X?k)?Cnp(1?p)，(k?01，，2，，n)，X~B(n，p)。 数学期望EX?np、方差DX?np(1?p)【n?1时为两点分布】 正态分布 ?(x)?1e2π??(x??)22a2图象称为正态密度曲线，随机变量X满足P(a?X≤b)???(x)dx，则称X的分布为正态分布．正态密度曲线的特点。 ab数字 特征 数学期望 方差和 标准差 EX?x1p1?x2p2?方差：DX??xipi?2?xnpn E(aX?b)?aEX?b D(aX?b)?a2DX ?(x?EX)ii?1npi，标准差：?X?DX *22. 统计与统计案例 统计 与统统计 计案例 随机抽样 简单抽样 分层抽样 系统抽样 频率分布 众数 中位数 从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。 将总体分层，按照比例从各层中独立抽取样本的方法。 将总体均匀分段，每段抽取一个样本的方法。 在样本中某个（范围）数据在总体中占有的比例成为这个（范围）数据的频率，使用频率分布表、频率分布直方图表达样本数据的频率分布。茎叶图也反映样本数据的分布。 样本数据中出现次数最多的数据。 样从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。 本等概率抽样。 统计的基本思想是以样本的分布估计总体的分布。即以13

样本估计总体

平均数 方差 标准差 回归分析 独立性检验 相关关系 最小 二乘法 x1,x2,x1,x2,1,xn的平均数是x?(x1?x2?n2?xn)。 1n,xn的平均数为x， s??(xi?x)2。 ni?11ns?(xi?x)2 ?ni?1n特样本的频率征分布估计总数 体的频率分布，以样本的特征数估计总体的特征数。 两个变量之间的一种不确定性关系，有正相关和负相关。 统计案例 Q??(yi?a?bxi)2最小时得到回归直线方程y?bx?a的方法。 i?1对于值域分别是?x1,x2?和?y1,y2?的分类变量X和Y，列出其样本频数列联表，通过计算卡方统计量判断两个分类变量是否有关的方法。 *23. 函数与方程思想,数学结合思想 函数与函数与方方程思想 程思想、数形结数形结合合思想 思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用函数联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立思想 各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决． 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表方程示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程思想 （组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决． 根据数与形之间的对应关系，通过把数转化为形，通以形助数 过对形的研究解决数的问题、或者获得解决数的问题解决 思路解决数学问题的思想。 根据数与形之间的对应关系，通过把形转化为数，通以数助形 过数的计算、式子的变换等解决数学问题的数学方法。 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系． 数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野. *24. 分类与整合思想,化归与转化思想 分类与整合、化归与转化 分类 与 整合 解答数学问题，按照问题的不同发展方向分别进行解分类 思想 决的思想方法。 整合 把一个问题中各个解决的部分，基本合并、提炼得出思想 整体结论的思想方法。 分类与整合思想的主要问题是“分”，解题的过程是“合—分—合”。 化归 与 转化 根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把化归 化归转化思想的实质是数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、思想 “化不能为可能”，使用化归化复杂为简单的解决问题的思想方法。 转化思想需要有数学知识和 根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把解题经验的积累。 转化 数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解 思想 决问题的思想方法。 *25. 几何证明选讲 几 相似平行线 等分线段 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条（与这组平行线相交的）直线上截得的线段也相等． 14 何证明选讲 三角形 相似 三角形 截割定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． 两角对应相等的两三角形相似。 两边对应成比例且两夹角相等的两推论：如果一条直线与一个三角形的一条边平行，且与三角形的另两边相三角形相似。 判定定理 交，则截得的三角形与原三角形相似． 直角三角形射影定理： 直角三角形一条直角边的平方等于在相似三角形的对应线段的比等于相斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上性质定理 似比，面积比等于相似比的平方． 的高等于两直角边在斜边上射影的乘积． 推论1：同弧（或等弧）上的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 圆周角 圆周角的度数等于其定理 所对弧度数的一半． 推论2：半圆（或直径）上的圆周角等于90．反之，三边对应成比例的两三角形相似。 圆中 的角 直线与圆的位置关系 90的圆周角所对的弦为直径。 弦切角 定理 弦切角的度数等于所推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或夹弧度数的一半． 等弧）上的弦切角与圆周角相等． 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切切线长定理：从圆外一点线． 引圆的两条切线长相等． 圆的切线垂直于经过切点的半径． 圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等． 从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等． 从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项． 圆的 切线 判定 性质 相交弦 定理 割线 定理 切割线 定理 圆中比例线段 圆内接四边形 判定定理 圆内接四边形对角互补． 性质定理 如果四边形的对角互补，则此四边形内接与圆． *26. 坐标系与参数方程 ?x'???x,???0?,?设点P?x,y?是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?:?'的作y???y,??0.????伸缩变换 '''用下，点P?x,y?对应到P?x,y?，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简坐坐标标系系 与参数方程 称伸缩变换． 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的直角坐标与极坐标的互化 长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是?x,y?，极坐标是??,??，则x??cos?,y??sin?.且 ?2?x2?y2,tan??y?x?0?. x在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标至少有一个满足方程曲线的极坐标方程 f??,???0，并且坐标适合f??,???0的点都在曲线C上，那么方程f??,???0就叫做曲线C的极坐标方程． 在平面直角坐标中，如果曲线C上任一点M的坐标x，y都是某个变数t的函数参数方概念 ?x?f(t),反过来，对于t的每个允许值，由函数式 ?y?g(t),??x?f(t)所确定的点M(x,y)?y?g(t)? 15