注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第四章概率论习题__奇数.doc
1 解 每次抽到正品的概率为：
NN，放回抽取，抽取n次，抽到正品的平均次数为：n MM??03 解 由于：
?????xf(x)dx?2?x12??dx?ln(1?x)|0??? 2?(1?x)?所以X的数学期望不存在。
5 解 每次向右移动的概率为p，到时刻n为止质点向右移动的平均次数，即?n的期望为：
E(?n)?np
时刻n质点的位置Sn的期望为：E(Sn)?np?n(1?p)?n(2p?1) 7 解 方法 1：由于P(T?0)?1，所以T为非负随机变量。于是有：
E(T)??(1?F(t))dt??0????0P(T?t)dt????01?t3e(1?e?t)dt? 24方法二：由于P(T?0)?1，所以，可以求出T的概率函数：
?0,t?0?f(t)??1?t ?te(1?2e),t?0??2于是E(t)??????tf(t)dt??tf(t)dt?0??3 49．解 设棍子上的点是在[0,1]之间的，Q点的位置距离端点0的长度为q。设棍子是在t点处跌断，t服从[0,1]的均匀分布。于是：包含Q点的棍子长度为T，则：
?t,q?t?1?T??1?t,0?t?q，q?t?1
?min(q,1?q),t?q?于是包Q点的那一段棍子的平均长度为：
E(T)??Tdx??(1?t)dt??tdt?00q1q11?q?q2 2500k次，每组化验为阳性的概率为：1?0.7，k11、解 (I)每个人化验一次，需要化验500次 （II）分成k组，对每一组进行化验一共化验
若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k次，于是该方法需要化验的次数为：
500(1?(1?0.7k)k)。 k将（II）的次数减去（I）的次数，得：于是：
5001(1?(1?0.7k)k)?500?500(?0.7k) kk11?0.7k?0时，第二种方法检验的次数少一些；当?0.7k?0时，第一种方法检验的kk1k次数少一些；当?0.7?0时，二种方法检验的次数一样多。
k当
13、解 由题意知：
?1?2?2,x,y在圆内,?r?x?r???,?r?y?r，fX(x)???r，fY(x)???r f(x,y)???r2????0，其他值?0，其他值?0，其他值（1） 计算可得E(X)?E(Y)??r?rx2dx?0 ?r（2） A的位置是（x，y），距中心位置（0，0）的距离是：x2?y2，于是所求的平均
距离为：
E(X2?Y2)?x2?y2?r2??x2?y212r dxdy?2?r3?12222f(x,y)?,?r?x?y?r?x15、解 fY|X(y|x)? ??2rfX(x)??0，其他值3r,y)?1,?r?y?r3r?2fY|X(y|)???2r22 23rfX()??0，其他值2f(于是：
r3r1E(Y|X?)??2rydy?0
?222r17、解：由题意知 P(X?k)?1，其中k?0,1,2,10。于是 11,11
P(Y?k,X?i)?0,i?k?1,P(Y?k,X?i)?P(X?i)P(Y?k|X?i)?从而P(Y?k)?11?,i?0,1,1111?i,k
?P(Y?k,X?i)??i?0kk11? 1111?ii?0k于是：E(Y)???kk?0i?0101?7.5 11?i(11?i)ik?1又P(Z?k)?? k?111i?110从而E(Z)??P(Z?k)k??k?1i?1k?101?3.02
(11?i)19、解 E(X)???0?a??1??x?(??k)xxedx?k,(k?1) ?(?)??(?)kD(X)???0??a??1??x?a??1??x2?(??2)?(??1)2?xxedx?[?xxedx]?2?[]?2
0?(?)?(?)??(?)??(?)?221、解 (1)设p表示从产品取到非正品的概率，于是有：
p?(1?98%)*0.7?0.2*(1?90%)?0.1*(1?74%)?0.06，
用X表示产品中非正品数，X服从二项分布B(100，0.06)，有：
E(X)??kP(X?k)?100?0.06?6
k?0100D(X)?100p(1?p)?5.64（参考77页的例4.2.5）
（3） 用Y表示在该条件下正品数，Y服从二项分布B(100,0.98)，于是
E(Y)?100?0.98?98
D(X)?100?0.98?(1?0.98)?1.96
23、解 证明：
D(XY)?E((XY)2)?(E(XY))2?E(X2Y2)?(E(XY))2?E(X2)E(Y2)?(E(X)E(Y))2(由于X,Y相互独立)=(D(X)?E(X))?(D(Y?E(Y))?E(X)E(Y)25、解（1）由相关系数的定义，得：
2222
?D(X)?D(Y)?(E(X))2?D(Y)?(E(Y))2?D(X)Cov(X,X)D(X)D(X)?XX?，其中Cov(X,X)?E(XX)?E(X)E(X)
通过计算得Cov(X,X)?0，即?XX?0，从而说明X,X是不相关的。 （2）很显然，X与X不是相互独立的。 27、解（1）由题意得：
E(A)??3?????????(1????)?????
466612E(sinA)?sin?6??sin?6??sin?12，E(cosA)?cos?6??cos?6??cos?12
结合已知条件，可求出：??11，?? 42由于A和B是独立同分布的，于是（A,B）的联合分布律为： A B
??? P(A=i) 346? 1/16 1/8 1/16 1/4 3? 1/8 1/4 1/8 1/2 4? 1/16 1/8 1/16 1/4 6
（2）
E(sinC)?E(sin(B?A))?E(sinBcosA)?E(cosBsinA) 3?22?12?E(sinB)E(cosA)?E(cosB)E(sinA)?2[]?0.9668（3）?AC?Cov(A,C)，其中
D(A)D(C)Cov(A,C)?Cov(A,??A?B)?Cov(A,?A)?Cov(A,?B)?Cov(A,?A)??D(A) D(C)?D(??A?B)?D(A)?D(B)?2D(A)
所以：?AC?Cov(A,C)1??，说明A和C是负相关的。
D(A)D(C)229.解 （1）证明：由于X和Y相互独立，于是由题意得
E(?)?E(XY)?E(X)E(Y)?0
D(?)?D(XY)?D(X)?D(Y)?(E(X))2?D(Y)?(E(Y))2?D(X)?4p(1?p)?(2p?1)2?1
从而有?~N(0,1) （2）
?X??Cov(X,?)?Cov(X,?)?Cov(X,XY)?E(X2Y)?E(X)E(XY)D(X)D(?)
?E(X2)E(Y)?E(X)2E(Y)?E(Y)?2p?1当p?11时，X和?是不相关的；当p?，即?XC?0时，说明X和?是正相关的 22当p?
1
，即?XC?0时，说明X和?是负相关的 2
显然，X和?是 不独立的
e???k,k?0,1,31、解 （1）泊松分布的表示式为：P(X?k)?k!，于是通过计算有：
P(X?k?1)??
P(X?k)k?1??1,当??k?1P(X?k?1)????1,当??k?1 故：
P(X?k)??1,当??k?1?因此若?为正整数，则众数为?和?-1；当?不为正整数时，则众数为?的整数部分[?]。 33、解 （1）由题意可知：
D(X1)?1,E(X1)?0，说明 X1~N(0,1) D(X1)?1,E(X1)?0，说明 X2~N(0,16)
D(X3)?4,E(X3)?1，说明 X3~N(1,4)
（2）对于二维正态而言，两变量不相关等价于两变量独立。 由于Cov(X1,X2)?2?0，所以X1与X2相关且不独立 由于Cov(X1,X3)??1?0，所以X1与X3相关且不独立 由于Cov(X3,X2)?0，所以X3与X2不相关且独立 从而（由88页性质4）可以判断出X1，X2与X3不相互独立 （3）计算有E(Y1)?E(X1?X2)?0，E(Y2)?E(X3?X1)?1
Cov(Y1,Y1)?Cov(X1?X2,X1?X2)?Cov(X1,X1)?Cov(X2,X2)?2Cov(X1,X2)?13
Cov(Y1,Y2)?Cov(X1?X2,X3?X1)?Cov(X1,X3)?Cov(X1,X1)?Cov(X2,X3)?Cov(X2,X1)?0
Cov(Y2,Y2)?Cov(X3?X1,X3?X1)?Cov(X3,X3)?Cov(X1,X1)?2Cov(X3,X1)?7
?130??0?'Y?(Y,Y)~N(?,?)于是，其中????，???12?
071????此文只供参考，写作请独立思考，不要人云亦云，本文并不针对某个人（单位），祝您工
作愉快！一是主要精力要放在自身专业能力的提升上，二是业余时间坚持写作总结，这是一
浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第四章概率论习题_奇数答案
