高考数学一轮复习 第62讲《圆锥曲线的综合问题》热点针对训
练 理
1.已知λ∈R，则不论λ取何值，曲线C：λx－x－λy＋1＝0恒过定点( D ) A．(0,1) B．(－1,1) C．(1,0) D．(1,1)
22
解析：由λx－x－λy＋1＝0，得λ(x－y)－(x－1)＝0.
??x－y＝0依题设?
?x－1＝0?
2
2
??x＝1
，即?
?y＝1?
，
可知不论λ取何值，曲线C过定点(1,1)．
2.若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|＋|PF|取最小值，P点的坐标为( B )
A．(3,3) B．(2,2)
1
C．(，1) D．(0,0)
2
解析：如图，根据抛物线的定义可知|PF|等于点P到准线l的距离|PQ|.则当A、P′、Q′三点共线时|PA|＋|PF|最小，此时，可求得P′(2,2)．
3.(2012·山东省高考冲刺预测)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上任意一点P，引与实→→
轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则PM·NP为定值( D )
22
A．ab B．2ab
22
C．a D．－a
解析：设P(x，y)，则M(y，y)，N(－y，y)，
xa2
yb2
ababa→→a于是PM·PN＝(y－x,0)·(－y－x,0)
bb＝(y－x)(－y－x)
ababba2b22
＝2＝a， b
12222＝2(bx－ay)
1
→→→→2
所以PM·NP＝－PM·PN＝－a，故选D.
4.(2012·山东省莱芜市上期末)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，
95
→→
点P为椭圆上任意一点，则OP·FP的最小值为( A )
11
A. B．3 4
C．8 D．15
解析：设P(x，y)，由题意得F(－2,0)，
→→
所以OP·FP＝(x＋2，y)·(x，y) 22＝x＋2x＋y 42
＝x＋2x＋5 949211
＝(x＋)＋(－3 11 所以最小值为，故选A. 422 5.双曲线x－y＝4上一点P(x0，y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则△POQ的面积为定值 1 . x2y2 解析：如图，双曲线x－y＝4的两条渐近线为y＝±x， 即x±y＝0，设P在另一条渐近线上的射影为R，则 |x0－y0||PQ|＝， 2|x0＋y0||PR|＝， 2 22 1|x0－y0| 所以S△POQ＝|PQ||PR|＝＝1. 24 22 6.椭圆＋＝1和圆x＋y－4x＋3＝0上最近两点之间的距离为 2 ，最远两点2516 间的距离为 8 . 解析：由题设知圆的圆心为(2,0)，半径为1，本题可转化为求椭圆上的点P(x0，y0)到定点A(2,0)的最近、最远距离；易求得|PA|min＝3，|PA|max＝7，从而知所求的最近距离为2，最远距离为8. 7.(2012·柳州市第一次模拟)如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个 2 x2y2 22 焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率是 3－1 . 解析：设正六边形的边长为2c，则焦距为2c，连接EA，AD， 则在三角形EAD中，|EA|＋|ED|＝2a，DE⊥AE， 1222 所以DE＋AE＝AD，DE＝AD，解得AE＝3c， 2所以3c＋c＝2a，所以e＝3－1. x2y2→→ 8.若椭圆2＋2＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且OP·OQ＝0(O为 ab坐标原点)． 11 (1)求证：2＋2等于定值； ab(2)若椭圆离心率e∈[ 32 ，]时，求椭圆长轴长的取值范围． 32 22 22 ??bx＋ay＝a解析：(1)证明：由? ?x＋y－1＝0? 2 2 2 2 2 2 22 b ?(a＋b)x－2ax＋a(1－b)＝0.① 2222 由Δ＞0?ab(a＋b－1)＞0， 22 因为a＞b＞0，所以a＋b＞1. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是①的两根， 22aa21－b2 所以x1＋x2＝2，x1x2＝.② a＋b2a2＋b2 →→ 由OP·OQ＝0得，x1x2＋y1y2＝0， 即 2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，③ 112222 将②代入③得，a＋b＝2ab，所以2＋2＝2，为定值． b2222222 (2)由(1)a＋b＝2ab得2－e＝2a(1－e)， 2 2－e112 所以a＝＝＋， 22 21－e221－e又 a3256 ≤e≤，所以≤a≤，长轴2a∈[5，6]． 3222 x2y2 9.(2012·山东省淄博市第一学期期中)已知点F1，F2分别为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0) ab 3 的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为2＋1，且△PF1F2的最大面积为1. (1)求椭圆C的方程； 5 (2)点M的坐标为(，0)，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对 4于任意的k∈R，→MA·→ MB是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 解析：(1)由题意可知： a＋c＝2＋1，1 2 ×2c×b＝1， 因为a2＝b2＋c2，所以a2＝2，b2＝1，c2 ＝1， 所以所求椭圆的方程为x2 2 2 ＋y＝1. (2)设直线l的方程为y＝k(x－1)， A(x，y(x5 11)，B2，y2)，M(4 ，0)， ?2 ?x＋y2联立?2 ＝1 ??y＝kx－1 ，消去y，得(1＋2k2 )x2 －4k2 x＋2k2 －2＝0， ?2 ?x4k1＋x2＝1＋2k2 则?22 ?x1x2 ＝ k－21＋22 ?kΔ>0 . 因为→MA＝(x－5→ 514，y1)，MB＝(x2－4，y2)， →MA·→ MB＝(x551－4)(x2－4 )＋y1y2 ＝－54(x＋x25 12)＋x1x2＋16＋y1y2 ＝－54(x＋x252 1＋x2)1x2＋16＋k(x1－1)(x2－1) ＝(－54－k2)(x)＋(1＋k2)x2 251＋x21x2＋k＋16 ＝－716 . 对任意x∈R，有→MA·→ MB＝－716 为定值． 4 5
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