高考数学一轮复习 第50讲《用向量方法证明空间中的平行与垂
直》热点针对训练 理
1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C )
A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥α C．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α
解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a?平面α也满足a·n＝0.
2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论： ①若n1∥n2，则α∥β； ②若n1∥n2，则α⊥β；
③若n1·n2＝0，则α⊥β； ④若n1·n2＝0，则α∥β. 其中正确的是( A ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
→
3.(原创)已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，则与向量AB平行的一个向量的坐标是( C )
1
A．(，1,1) B．(－1，－3,2)
3
13
C．(－，，－1) D．(2，－3，－22)
22
13→
解析：AB＝(1，－3,2)＝－2(－，，－1)，
22
13→
所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(－，，－1)，故选C.
22
4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2 .
5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ 4 .
解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)， 所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.
→→→→→
6.已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)．若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥
4015
平面ABC，则实数x＝ ，y＝ － ，z＝ 4 .
77
→→
AB·BC＝3＋5－2z＝0??→→
解析：由已知?BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0
?→?→BP·BC＝3x－1＋y－3z＝0解得x＝
4015
，y＝－，z＝4. 77
，
7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的
面积为 258 .
解析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0， 所以a⊥b，又|a|＝22，|b|＝29， 所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为 |a|·|b|＝22×29＝258.
8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.
1
证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．由题意，得G(0,4,0)．
→→
因为OB＝(8,0,0)，OE＝(0，－4,3)，
设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)， →??n·OB＝0
则?
→??n·OE＝0
??x＝0
，即?
??－4y＋3z＝0
，
取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．
→→
由FG＝(－4,4，－3)，得n·FG＝0.
又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.
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9.(2012·陕西省西安市名校第一次质检改编)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．
(1)求证：PB∥平面EFH； (2)求证：PD⊥平面AHF.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0)．
→→
(1)因为PB＝(2,0，－2)，EH＝(1,0，－1)，
→→所以PB＝2EH，
因为PB?平面EFH，且EH?平面EFH， 所以PB∥平面EFH.
→→→
(2)因为PD＝(0,2，－2)，AH＝(1,0,0)，AF＝(0,1,1)，
→→
所以PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， →→
PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0， 所以PD⊥AF，PD⊥AH，
又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.
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高考数学一轮复习 第50讲《用向量方法证明空间中的平行与垂直》热点针对训练 理
