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2.1 有理数
1．正数与负数
(1)生活中存在大量相反意义的量
生活中，有许许多多具有相反意义的词语，例如向东和向西，西北和东南，向前和向后，向左和向右，上升和下降，零上和零下，收入和支出，盈利和亏本，买进和卖出，公元前和公元后等．和相反意义的词语相关联，生活中存在数不清的具有相反意义的量，如前进3 m与后退5 m，收入300元与支出80元等．
(2)用正数和负数表示具有相反意义的量
现实生活中，具有相反意义的量，如昨天的气温是零下1 ℃，而今天的气温是零上2 ℃，怎样表示它们呢？只用原来的那些数很难区分量的相反意义．
一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“－”(读作负)号来表示．即把其中一种意义的量规定为正的(用“＋”号表示，读作“正”)，把另一种和它意义相反的量规定为负的(用“－”号表示，读作“负”)，如零下1 ℃记作－1 ℃，零上2 ℃记作＋2 ℃；又如规定向东走5 m，记作＋5 m，则向西走5 m，记作－5 m.
【例1－1】 用正数和负数表示下列各题中的量．
(1)一辆公共汽车在一个停车站下去10个乘客和上来8个乘客；
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(2)珠穆朗玛峰高于海平面8 844.43米和吐鲁番盆地最低点低于海平面155米；
(3)商品上涨10%和下降15%.
分析：把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负，并分别用正数和负数表示即可．
解：(1)－10人，＋8人；(2)＋8 848.43米，－155米；＋10%，－15%. 警误区 表示相反意义的量时不要忘记加单位 在用正负数表示一对具有相反意义的量时，不要少了后面的单位，同时注意相反意义的量的数值可以不同．
(4)正数和负数的概念
①负数的概念：为了表示具有相反意义的量，我们引进了像－5，－2，－237，－3.6这样的数，这是一种新数，叫做负数．
②正数的概念：过去学过的那些数(零除外)，如10,3,500,5.5等，叫做正数．正数前面有时也可放上一个“＋”号，如5可以写成＋5，＋5和5是一样的．
③0既不是正数，也不是负数． (5)关于正数、负数和0的几点说明
①在正数的前面加上“＋”号，以强调它是正数，如正数3写作＋3，通常“＋”号省略不写；负数前面的“－”号不能省略，如负数5写作－5.
②正数和负数是相对而言的，取决于作为基准的量，但一般情况下，人们习惯上这样来规定正数和负数：收入为正，支出为负；零上为正，零下为负；高出海平面为正，低于海平面为负等等．
③判断一个数是否是负数，关键是看是否在正数前面带有“－”号，而不是看它是否有“－”号．例如：－(－3)就不是负数．
④0的意义在过去表示“没有”，自引入负数后，它就是正数与负数的分界点，也是相反意义的量的分界点，是我们认识的数中唯一的一个“中性数”．
谈重点 正数和负数的关系 负数是在正数的基础上定义的，只有在正数的前面添上“－”号才是负数．
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【例1－2】 指出下列各数中，哪些是正数，哪些是负数． 111
－2，＋2，0,3，204，－0.02，＋3.65，－5.
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分析：根据正数和负数的意义来判断，尤其要弄明白负数的意义：在正数前面加上“－”号．还要特别注意0既不是正数也不是负数．
111
解：＋2，3，204，＋3.65是正数；－2，－0.02，－5是负数．
3572．有理数 (1)有理数的概念
正整数(即不为0的自然数)、零和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．即
正整数??整数?0
??负整数
???正分数?整数
分数? 有理数?
???负分数?分数
(2)有理数的分类
①有理数可以按照它的定义分为整数和分数两类．即
正整数???整数??0???负整数有理数????正分数分数???负分数??
②有理数还可以按照性质分为：正有理数、0和负有理数三类．即
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??正整数??正有理数?
?正分数?
?0
有理数?
???负整数负有理数?
?负分数???
警误区 进行有理数分类时要注意的问题 有理数在分类之前必须弄清楚分类的标准，不能混淆，要做到不重不漏．
(3)数集的概念
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集． 所有的有理数组成的数集叫做有理数集．
类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等．
所有正整数和正分数合在一起组成正有理数集，所有负整数和负分数合在一起组成负有理数集．
【例2】 把下列各数填在相应的横线上：
11
－35,0.7,80，－，－0.88,0,3.14，－7.9，234，，3，－10.
9093正整数__________；正分数__________；负整数__________；负分数__________．
解析：先把有理数分为正数和负数两类，再把正数分为正整数和正分数两类，把负数分为负整数和负分数两类，分别填写在相应的横线上．
11
答案：80,234,3 0.7,3.14， －35，－10 －，－0.88，－7.9
3909
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3．正确理解具有相反意义的量的意义
用正数和负数表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量先规定为正的，那么与它意义相反的量就是负的．
用正负数表示相反意义的量时，必须要有一个规定的标准．
在用正数和负数表示一对具有相反意义的量时，“正”和“负”是相对而言的，用“正”表示其中的一个量，则用“负”来表示另一个与之意义相反的量，但我们一般把“增加”、“上涨”、“盈利”、“高于”等记为“正”，把与它们有相反意义的量记为“负”．
通常从两个方面考查：一是用正负数表示具有相反意义的量，二是说出具有相反意义的量表示的意义．
把具有相反意义的量的表示方法和取“标准”(或“起始”位置)等知识结合在一起，综合性较强，是近几年中考的热点之一．
【例3－1】 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意取出两袋，它们的质量最多相差( )．
A．0.8 kg
B．0.6 kg
C．0.5 kg
D．0.4 kg
解析：从条件中可以看出，在三袋面粉中，最多可以超出标准质量0.3 kg，最少低于标准质量0.3 kg，所以从中任意取出两袋，它们的质量最多相差0.6 kg.
答案：B
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华东师大版数学七年级上册2.1【例题与讲解】有理数
