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概率论与数理统计(经管类)公式
一、随机事件和概率
1、随机事件及其概率
运算律名称 交换律 结合律 分配律 德摩根律 2、概率的定义及其计算
公式名称 求逆公式 加法公式 条件概率公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 （逆概率公式） 伯努力概型公式 两件事件相互独立相应公式
公式表达式 P(A)?1?P(A) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) 表达式 A?B?B?A AB?BA (A?B)?C?A?(B?C)?A?B?C (AB)C?A(BC)?ABC A(B?C)?AB?AC A?(BC)?(A?B)(A?C) A?B?AB AB?A?B P(BA)?P(AB)P(A) P(AB)?P(A)P(BA) P(AB)?P(B)P(AB) P(B)??P(A)P(BA) iii?1nP(AjB)?P(Aj)P(BAj)?P(A)P(BA)jii?1? kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?n P(AB)?P(A)P(B)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(BA)；P(BA)?P(BA)?1；P(BA)?P(BA)?1 .页脚.
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二、随机变量及其分布
1、分布函数性质
P(X?b)?F(b) P(a?X?b)?F(b)?F(a)
2、离散型随机变量
分布名称 0–1分布B(1,p) 二项分布B(n,p) 泊松分布P(?) 几何分布G(p) 超几何分布H(N,M,n) 3、连续型随机变量
分布名称 均匀分布U(a,b) 密度函数 ?1?b?a,f(x)???0,?a?x?b其他分布律 P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1 kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?,n P(X?k)?e???kk!,k?0,1,2,? P(X?k)?(1?p)k?1p,k?0,1,2,? P(X?k)?kn?kCMCN?MnCN,k?l,l?1,?,min(n,M) 分布函数 0,x?a???x?aF(x)??,a?x?b b?a?1,x?b??指数分布E(?) 正态分布N(?,?2) 标准正态分布N(0,1) f(x)???x???e,x?0f(x)?? ?其他?0,x?0?0,F(x)?? ??x1?e,x?0?2???2???11x12??e?(x??)22?2???x??? F(x)???e?(t??)22?2dt ?(x)?12?e?x22???x??? F(x)?x??e?(t??)22?2dt三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布
pi??P(X?xi)??P(X?x,Y?y)??pijjjij
p?j?P(Y?yj)??P(X?x,Y?y)??pijiiij
2、离散型二维随机变量条件分布
pij?P(X?xiY?yj)?P(X?xi,Y?yj)P(Y?yj)?pijP?j,i?1,2?
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pji?P(Y?yjX?xi)?P(X?xi,Y?yj)P(X?xi)?pijPi?,j?1,2?
xy3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数F(x,y)???????f(u,v)dvdu 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：FX(x)???yx??????f(u,v)dvdu 密度函数：fX(x)??????f(x,v)dv
FY(y)???????f(u,v)dudv 5、二维随机变量的条件分布
fYX(yx)???fY(y)??????f(u,y)du
f(x,y)f(x,y),???y??? fXY(xy)?,???x??? fX(x)fY(y)四、随机变量的数字特征
1、数学期望
离散型随机变量：E(X)??xkpk 连续型随机变量：E(X)????xf(x)dx
k?1????2、数学期望的性质
(1)E(C)?C,C为常数 E[E(X)]?E(X) E(CX)?CE(X)
(2)E(X?Y)?E(X)?E(Y) E(aX?b)?aE(X)?b E(C1X1??CnXn)?C1E(X1)??CnE(Xn) (3)若XY相互独立则：E(XY)?E(X)E(Y) (4)[E(XY)]2?E2(X)E2(Y) 3、方差：D(X)?E(X2)?E2(X) 4、方差的性质
(1)D(C)?0 D[D(X)]?0 D(aX?b)?a2D(X) D(X)?E(X?C)2
(2)D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) 若XY相互独立则：D(X?Y)?D(X)?D(Y) 5、协方差：Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y) 若XY相互独立则：Cov(X,Y)?0 6、相关系数：?XY??(X,Y)?Cov(X,Y)D(X)D(Y) 若XY相互独立则：?XY?0即XY不相关
7、协方差和相关系数的性质 (1)Cov(X,X)?D(X) Cov(X,Y)?Cov(Y,X)
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(2)Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y) Cov(aX?c,bY?d)?abCov(X,Y) 8、常见数学分布的期望和方差
分布 0-1分布B(1,p) 二行分布B(n,p) 泊松分布P(?) 几何分布G(p) 超几何分布H(N,M,n) 均匀分布U(a,b) 正态分布N(?,?2) 指数分布E(?) n数学期望 p 方差 p(1?p) np(1?p) np ? 1p? 1?ppn2 MNMMN?m (1?)NNN?1a?b2(b?a)212?2 ? 1? 1?2 五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式
)D(X)若E(X)??,D(X)??2,对于任意??0有P{X?E(X)??}?D(X或 P{X?E(X)??}?1?22??2、大数定律：若X1?Xn相互独立且n??时，1n(1)若X1?Xn相互独立，E(Xi)??i,D(Xi)??i2?i?1n1Xi???nD?E(X)
ii?1n且
?i21?M则：
n?i?1n1Xi???nP?E(X),(n??)
ii?1n1nP??? (2)若X1?Xn相互独立同分布，且E(Xi)??i则当n??时：?Xi?ni?13、中心极限定理
(1)独立同分布的中心极限定理：均值为?，方差为?2?0的独立同分布时，当n充分大时有：
?XYn?k?1nk?n?~???N(0,1)
n? .页脚.
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(2)拉普拉斯定理：随机变量?n(n?1,2?)~B(n,p)则对任意x有：
x???limP{?n?npnp(1?p)?x}??x12???e?t22dt??(x)
n(3)近似计算：P(a??Xk?b)?P(k?1na?n?n??X?k?1k?n??b?n?n?n?)??(b?n?n?)??(a?n?n?)
六、数理统计
1、总体和样本
总体X的分布函数F(x)样本(X1,X2?Xn)的联合分布为F(x1,x2?xn)??F(xk)
k?1n2、统计量
(1)样本平均值：X?1n(3)样本标准差：S??i?1n1Xi (2)样本方差：S?n?12?1(Xi?X)?n?1i?12n?i?1n(Xi2?nX)
21n?1?1(Xi?X) (4)样本k阶原点距：Ak?ni?12n?Xi?1nki,k?1,2?
(5)样本k阶中心距：Bk?Mk?1n?(Xi?1ni?X)k,k?2,3?
(6)次序统计量：设样本(X1,X2?Xn)的观察值(x1,x2?xn)，将x1,x2?xn按照由小到大的次序重新排列，得到x(1)?x(2)???x(n)，记取值为x(i)的样本分量为X(i)，则称
X(1)?X(2)???X(n)为样本(X1,X2?Xn)的次序统计量。X(1)?min(X1,X2?Xn)为最小次序统
计量；X(n)?max(X1,X2?Xn)为最大次序统计量。 3、三大抽样分布
(1)?2分布：设随机变量X1,X2?Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量?2?X12?X22??Xn2所服从的分布称为自由度为n的?2分布，记为?2~?2(n) 性质：①E[?2(n)]?n,D[?2(n)]?2n②设X~?2(m),Y~?2(n)且相互独立，则X?Y~?2(m?n) (2)t分布：设随机变量X~N(0,1),Y~?2(n)，且X与Y独立，则随机变量：T?服从的分布称为自由度的n的t分布，记为T~t(n) 性质：①E[t(n)]?0,D[t(n)]?1ne,(n?2)②limt(n)?N(0,1)?n??n?22??(x??)22?2XYn所
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全国自学考试概率论与数理统计[经管类]公式
