2014挑战中考数学压轴题 - 1.5因动点产生的梯形问题

1.5 因动点产生的梯形问题

例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题

已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．

①求点D的坐标；

②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若ant?DPE的面积．

图1

?3，求四边形BDEP7动感体验

请打开几何画板文件名“12松江24”，拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等．

请打开超级画板文件名“12松江24”， 拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等，tan?DPE?0.43，四边形BDEP的面积为24．

思路点拨

1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．

2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．

3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．

满分解答

（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)． 将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c， 得??a?2?c?0,?c??3. 解得??a?1,?c??3.

所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．

对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)．

（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)． 因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，

代入点C(－2,－3)，可得b＝3．

所以点D的坐标为（0，3）．

②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．

3，得tan?PDH?PH?3．

DH77而DH＝7，所以PH＝3． 因此点E的坐标为（3，6）．

由tan?DPE?所以S梯形BDEP?1(BD?EP)?PH?24．

2

图2 图3

考点伸展

第（2）①用几何法求点D的坐标更简便： 因为CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO．

因此BC?OA?1．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．

BDOB3

例2 2012年衢州市中考第24题

如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12衢州24”， 拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在等腰梯形ABPM．拖动点A′在线段AC上运动，可以体验到，Rt△A′OB′、Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和Rt△EHK的两条直角边的比都为1∶2．

请打开超级画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在AM=BP．拖动点A′在线段AC上运动，发现S最大值为0.375．

思路点拨

1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．

2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．

3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．

4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．

满分解答

（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，

?a?b?c?2,73273得? 解得，，． 所以c?0b?y??x?x． a??c?0,?2222?4a?2b?c?1.?（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．

直线OC的解析式为y?1x，设点P的坐标为(x,1x)，那么M(x,?3x2?7x)． 22223712解方程2?(?x2?x)?x，得x1?，x2?2．

222321x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以P(,)．

33

图2 图3

（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K． 设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．

111在Rt△OFG中，FG?OG?(1?m)．所以S?OFG?(1?m)2．

224111A'G?(2?m)?1?m． 22213所以OH?OG?HG?(1?m)?(1?m)?m．

22在Rt△OEK中，OK＝2 EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．

4431因此OK?OH??m?2m．所以EK?OK?m．

33221133所以S?OEH?OH?EK??m?m?m2．

222413111113于是S?S?OFG?S?OEH?(1?m)2?m2??m2?m???(m?)2?．

4422422831因为0＜m＜1，所以当m?时，S取得最大值，最大值为．

82在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以HG?考点伸展

第（3）题也可以这样来解：设点A′的横坐标为a．

由直线AC：y＝－x＋3，可得A′(a, －a＋3)． 由直线OC：y?11x，可得F(a,a)． 223a?3,0)． 2由直线OA：y＝2x及A′(a, －a＋3)，可得直线O′A′：y＝2x－3a＋3，H(由直线OC和直线O′A′可求得交点E(2a－2，a－1)．

由E、F、G、H 4个点的坐标，可得