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第四课三角恒等变换
[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]三角函数式求值π【例1】(1)已知sin3－α＝－22018π－2α5，则cos3＝()A．－17B．－7258C.17D.7258(2)4cos50°－tan40°等于()A.2B.2＋32C.3D．22－1(3)已知tan(α－β)＝112，tanβ＝－7，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．2018π(1)C(2)C[(1)cos3－2α2π＝cos3－2απ＝1－2sin23－α＝1－2×－252＝1725.(2)4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°-1-精品文档精品文档，名师推荐！
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2sin80°－sin40°＝cos40°2sin＝50°＋30°－sin40°cos40°＝3sin50°＋cos50°－sin40°cos40°3sin50°＝3.]cos40°tanα＝tan[(α－β)＋β]＝(3)[解]tanα－β＋tanβ1＝＝＞0.1－tanα－βtanβ3π0，2.而α∈(0，π)，故α∈1π∵tanβ＝－，0＜β＜π，∴＜β＜π，721∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝＞0，2∴－π＜α－β＜－π，2∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]tanα＋tanα－β＝1－tanαtanα－β∴2α－β＝－3π.4＝1，三角函数的求值有三种类型：1给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题.2给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝α＋β－β，2α＝α＋β＋α－β等.把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论3给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角.选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是，选择求所求角的正弦或余弦值均可；若-2-精品文档精品文档，名师推荐！
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所求角的范围是0，π，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为，选择求所求角的正弦值.[跟进训练]1．已知－π1＜x＜0，sinx＋cosx＝.25(1)求sin2x和cosx－sinx的值；sin2x＋2sinx(2)求的值．1－tanx[解]1124π(1)由sinx＋cosx＝，平方得1＋sin2x＝，所以sin2x＝－，因为－5252522
＜x＜0，所以cosx＞sinx，7所以cosx－sinx＝1－2sinxcosx＝.52
2
sin2x＋2sinx2sinxcosx＋2sinx(2)＝sinx1－tanx1－cosx2sinxcosx＋sinx＝cosx－sinxcosx＝－24124×＝－.257175cosx＋sinx＝sin2x·cosx－sinx三角函数式化简sin【例2】1(2)tan化简：(1)1＋sinθ＋cosθθθ－cos222＋2cosθ(0＜θ＜π)；α2－tanα2·1＋tanα·tanα2.思路点拨：(1)使用倍角公式化简．(2)切化弦．[解](1)原式＝-3-精品文档精品文档，名师推荐！
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2sinθθθθ2θcos＋2cossin－cos22222θ4cos222θ2θθsin－coscos222＝θcos2||－cos＝|
θ·cosθ2.θcos2|因为0＜θ＜π，所以0＜所以cosθπ＜，22θ＞0，所以原式＝－cosθ.2cosαsin2－αsincos(2)原式＝2ααsinsinα221＋·cosαααcos2·2αα2α2αcos－sincosαcos＋sinαsin2222＝·αααsincoscosαcos2222cosα＝·sinαcosα2cosαcos2＝.sinαα2三角函数式的化简要遵循“三看”原则1一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.3三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.-4-精品文档精品文档，名师推荐！
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[跟进训练]2．化简：2sin130°＋sin100°1＋3tan370°.1＋cos10°2sin50°＋sin80°1＋3tan10°[解]原式＝1＋cos10°cos10°＋3sin10°2sin50°＋cos10°×cos10°＝2cos25°13cos10°＋sin10°2sin50°＋222＝2|cos5°|2sin50°＋2sin30°＋10°＝2cos5°2[sin＝2＝45°＋5°＋sin45°－5°]2cos5°sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°2cos5°4sin45°·cos5°＝＝2.2cos5°三角恒等式的证明【例3】[证明]4
123＋cos4x2
求证：tanx＋＝2
tanx1－cos4xsinxcosx左边＝＋22
cosxsinx4
2
2
.sinx＋cosx＝22
sinxcosx＝sinx＋cosx－2sinxcosx12sin2x42
2
2
2
2
121－sin2x2＝12sin2x4121－sin2x21－cos4x＝18-5-
2020_2021学年高中数学第3章三角恒等变换阶段综合提升第4课三角恒等变换学案新人教A版必修
