1 如图所示，质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以速度v0。绕管心作半径为rD的圆周运动，然后向下慢慢拉绳，使小球运动轨迹最后成为半径为r1的圆，求(1)小球距管心r1时速度大小。(2)由rD缩到r1过程中，力F所作的功。
解 (1)绳子作用在小球上的力始终通过中心O，是有心力，以小球为研究对象，此力对O的力矩在小球运动过程中
始终为零，因此，在绳子缩短的过程中，小球对O点的角动量守恒，即
小球在rD和r1位置时的角动量大小
L0?L1 rv?vr
(2)可见，小球的速率增大了，动能也增大了，由功能定理得力所作的功
mv0r0?mv1r1001W?112mv12?mv0 22112r022 ?mv0()?mv0 2r12 ??12?r02mv0?()?1?2?r1?
2 如图所示，定滑轮半径为r，可绕垂直通过轮心的无摩擦水平轴转动，转动惯量为J，轮上绕有一轻绳，一端与劲度系数为k的轻弹簧相连，另一端与质量为m的物体相连。 物体置于倾角为?的光滑斜面上。 开始时，弹簧处于自然长度，物体速度为零，然后释放物体沿斜面下滑，求物体下滑距离l时，物体速度的大小。
解 把物体、滑轮、弹簧、轻绳和地球为研究系统。在
物体由静止下滑的过程中，只有重力、弹性力作功，其它外力和非保守内力作功的和为零，故系统的机械能守恒。
设物体下滑l时，速度为v，此时滑轮的角速度为? 则
0?1211kl?J?2?mv2?mglsin?222 （1）
又有 v?r? （2） 由式（1）和式（2）可得
v?2mglsin??kl2J2?mr
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本题也可以由刚体定轴转动定律和牛顿第二定律求得，读者不妨一试。
3 如右图所示，一长为l、质量为m?的杆可绕支点O自由转动，一质量为m、速率为v的子弹射入杆内距支点为a处，使杆的偏转为30?。问子弹的初速率为多少？
解 把子弹和杆看作一个系统，系统所受的外力有重力和轴对细杆的约束力。在子弹射入杆的极短时间里，重力和约束力均通过轴O，因此它们对轴O的力矩均为零，系统的角动量应当守恒。于是有
?1?mv a??m?l2?ma2???3? （1）
子弹射入杆后，细杆在摆动过程中只有重
力作功，故如以子弹、细杆和地球为一系统，则此系统机械能守恒。于是有
1?1l22?2?m?l?ma???mga?1?cos30???m?g?1?cos30??2?32? （2）
?解式（1）和式（2），得
v?1g2?3?m?l?2ma?m?l2?3ma2ma6???
大学物理习题及解答(刚体力学)
