1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
学 习 目 标 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实1．通过对函数的平均变化率、际背景． 瞬时变化率、导数的概念的学核 心 素 养 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重习，培养学生的数学抽象核心点) 素养． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导2．通过求平均变化率、瞬时变数．(重点、难点) 化率及导数的学习，培养逻辑4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数推理及数学运算的核心素养. 的概念．(易混点) 1/22
1．函数的平均变化率
Δyf?x2?－f?x1?(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为Δx＝，其中Δx＝x2－x1x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”．
(2)平均变化率的几何意义
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)Δyf?x2?－f?x1?f?x1＋Δx?－f?x1?
的平均变化率Δx＝＝为割线AB的斜率，如图所示．
Δxx2－x1
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思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？ Δy
[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率Δx可正、可负、可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
即lim Δx＝lim . ΔxΔx→0
Δx→03．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim Δx→0f?x0＋Δx?－f?x0?. Δx3/22
1．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) C．f(x0)·Δx
B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
D [Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( )
A．4 C．0.41
B．4.1 D．－1.1
Δss?2.1?－s?2?2.12－22B [v＝Δt＝＝0.1＝4.1，故选B.]
2.1－23．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． 2 [∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是 f?1＋Δx?－f?1??1＋Δx?2－12Δy
lim＝lim＝lim ΔxΔxΔx→0ΔxΔx→0Δx→0＝lim(2＋Δx)＝2.]
Δx→0
4．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________． 0 [f′(6)＝lim
Δx→0
f?6＋Δx?－f?6?2－2
＝lim ＝0.]
ΔxΔx→0Δx
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求函数的平均变化率 【例1】 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． [解] (1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－5
＝0.9.
0.2－0.1
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)
22＝3x0＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx).
6x0Δx＋3?Δx?2函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.
Δx
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19-20版 第1章 1.1 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
