88立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角与距离.docx

8立体几何中的向量方法求空间角与距离

（时间：45分钟满分：100分） （II）

一、选择题（每小题7分，共28分）

1.如图所示，已知正方体ABCD—A/iCQi，E、F分别是正方形 A01C1D1和ADD.A,的中心，则EF和CD所成的角是（ A?60。

B.45°

C.30°

D.90°

）

2?在正方体 ABCD—AiBiCiDi 中，M是4B 的中点，则 sin

的值等于（）

A

2

B 密

C.* D.

弊

3?长方体ABCD—AxBxCxDx中，AB=AA} = 2f AD=lf E为CCi的中点，则异面直线BCi 与AE所成角的余弦值为（）

姮 姮 2^5 皿

A? 10 D? 10 5 10 则点Dx到平面AXBD的距离是（）

10 4?设正方体ABCD—AXBXCVD,的棱长为2,D.密

A.* B誓 C普

二、填空题（每小题7分，共28分）

5.正四棱锥S—4BCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD,

则直线BQ与平面MC所成的角是 ________ ?

6.P是二面角a—4B—“棱上的一点，分别在么、“平面上引射线PM、PN, W ZBPM = ZBPN=45。, ZMFN=60。，那么二面角a—AB—fl的大小为 _______ ?

7.如图所示,PD垂直与正方形ABCD所在平面,4B=2, E为P〃的中点，cos〈

以D4, DC, DP所在直线分别为兀，j, z轴建立空间直角坐标系，则点E

的坐标为 _______ .

〉

&正方体ABCD—AxB.CxDx的棱长为1, E、F分别为BB\\、CD的中点，则点F到平面AXDVE 的距离为 _______ ?，

三、解答题(共44分)

9. (14分)在棱长为1的正方体ABCD—A^QDi中，E、F分别是DQ、BD的中点，G在 棱CD上，且CG=^CD,应用空间向量方法解下列问题： (1) 求证：EF丄DC；

(2) 求EF与C、G所成角的余弦值.

10. (15分)正三棱柱ABC—AiB]Ci的底面边长为a,侧棱长为迈“，求AC】与侧面ABBXAX 所

成的角.

11?如图所示，在五面体ABCDEF中，朋丄平面ABCD, AD//BC//FE, A〃丄AD, M为

EC 的中点，AF=AB=BC=FE=^AD. (1) 求证：BF丄DM；

(2) 求二面角A—CD—E的余弦值

答案 LB

30°

2.B

6.90°

3.B

4.D 7.(1, 1, 1)

5.

9?(1)证明如图所示，建立空间直角坐标系，D为坐标原点, 则 E(0, 0, ￡),

电,*，0)，

C((),l,0), C](0,l,l), B1(l,l,l),

1- 2 = F E G(0, I，

B

BTC = (- 1,0, -1).

A EF*^C = |x(- l) + |x() + (^-|jx(- 1) = 0. EF丄祐7,即EF_LB、C?

⑵ VC7G =(0, _1), ???l昴 1 =乎.

又丽&寺o+*x(#) +(一訴(-1居,

EF =￥，?????< EF , GG> =

2

竺=誓,

EF|- cfi\\ i/

即异面直线EF与GG所成角的余弦值为導

10?解 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0), B(0, a,0),如(0,0, 伍),

Ci(-乌，血j,取旳血的中点M,则M(0, r 伍)，连接AM、 MG，贝9 苑-0, J, AB = (0,a,0), AAj = (0,0, VL).

= 2VCrAA7 = O. :.MCX丄平面 ABBXAX.

???ZCiAM是4G与侧面ABBXAX所成的角.

AC】=(一誓a, j, Via), AAf =(0, 伍)， 疋?胡=0 +牛+2/=竽?卜6 =\\J瞥+片十加2 =诟a,