必修 第一册 第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.元素与集合:我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 2.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。
科网][来源学3.集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;
确定性:(元素与集合的隶属关系)x?A或x?A; 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合不同于元素的排列顺序无关; 4.数学中一些常用的数集及其记发: ①非负整数集(或自然数集),记作N;②正整数集,记作N*或N+; ③整数集合,记作Z;④有理数集,记作Q;⑤实数集,记作R。 5.集合的表示方法:列举法、描述法或图示法;
列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号 “{}”括起来表示集合的方法; 描述法:一般地,设集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A| P(x)};
` Venn图:在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部改编集合。
6. 全集与空集:(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
[来源:Zxxk.Com](2)不含任何元素的集合叫做空集,记为?,规定空集是任何集合的子集。 1.2 集合间的基本关系
1.子集:一般地,对于两个集合A,B,如果A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作A?B(或A?B);
2.真子集:如果A?B,但存在元素∈B且x?A,称A是B的真子集,记作A是B的真子集,
4.简单性质:①A?A;②??A;③若A?B,B?C,则A?C;
1.3 集合的基本运算
1.并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。记作A∪B,并集A?B?{x|x?A或x?B}。
注:①A?A?A;②A???A,③A?B?B?A;④若A?B?A?B?B 2.交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。记作A∩B,交集A?B?{x|x?A且x?B}。
①A?A?A,②A????,③A?B?B?A;④A?B?A?B?A; ⑤(A?B)?A?(A?B);
B;
3.集合相等:若A?B且B?A,则称A等于B,记作A=B;若A?B且A≠B,则称A
[来源:Zxxk.Com]3.补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A中的所有元素组成的集合成为集
合A相对于全集U的补集,简称集合A的补集,记为CUA
即CUA={x|x?U且x?A};
[来源:Z*xx*k.Com]
1.4 充分条件与必要条件
1.充分条件、必要条件:一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.由p可推出q,记作:p?q.,我们就说p是q的充分条件;q是p必要条件.
注:①若p?q ,但q ?? p,则p是q的充分但不必要条件,q是p的必要但不充分条件;
②数学中的每一条判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件;数学中的每
一条性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件。
2.充要条件: 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均为真命题,即既有p?q ,又有q?p,就记作 p ? q.此时那么p是q的充分条件,也是q的必要条件,我们就说 p是q的充分必要条件,简称充要条件.
①如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.即 p 与 q互为充要条件. ②若p ?? q,且q ?? p,则p是q的既不充分也不必要条件.
③集合与充要条件的关系:1)A是B的真子集,则A是B的充分但不必要条件,B是A的必要但不充分条件;2)A是B的子集,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;3)A=B,则A是B的充要条件;4)除上述三种情况是既非充分又非必要条件。
1.5 全称量词与存在量词
1.全称量词、全称量词命题:短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,用符号“?”表示,含有全称量词的命题,
[来源:Z#xx#k.Com]叫做全称量词命题。那么全称量词命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:?x?M, p(x)。 2.存在量词与存在量词命题:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,这些词语都是表示整体的一部分。并用符号“?”表示。含有存在量词的命题叫做存在量词命题。存在量词命题:“存在M中一个x,使p(x)成立”可以用符号简记为:. ?x?M,p(x)。
3.全称量词命题与存在量词命题的否定:
?①全称量词命题P:?x?M,p(x) 的否定¬P:?x0?M,p(x0)
②存在量词命题P:?x0?M,p(x0) 的否定¬P:?x∈M,¬P(x)
第一章 集合与常用逻辑用语-天津市蓟州区擂鼓台中学人教版(2019)高中数学必修第一册知识点
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