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重点增分专题四 三角函数的图象与性质
[全国卷3年考情分析] 年份 2021 全国卷Ⅰ 三角恒等变换及三角函数的周期与最值·T8 三角函数的图象变换与2021 (1)高考对此局部内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．
(2)主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第3～11或14～15题位置上．
保分考点
考点一 三角函数的定义、诱导公式及根本关系 练后讲评
[大稳定——常规角度考双基]
1.[三角函数的定义及应用]在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，125??34?
β的终边分别与单位圆交于点??13，13?和?－5，5?，那么sin(α＋β)＝( )
A．－C．－
36
653 13
48B. 6533 D. 65
性质·T6 全国卷Ⅱ 三角函数单调性的应用·T10 三角函数的周期·T3 三角函数的最值·T13 三角函数图象求解析式·T3 三角函数的最值·T11 全国卷Ⅲ 正切函数的周期·T6 2021 三角函数的最值·T6 三角函数图象变换·T14 125??34?解析：选D 因为角α，β的终边分别与单位圆交于点??13，13?和?－5，5?，所以sin α3512435－?＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×?13135513?5?12433
＋×＝. 13565
12.[同角三角函数的关系式及应用]假设tan α＝，那么sin4α－cos4α的值为( )
21A．－ 51C. 5
1
解析：选B ∵tan α＝，
2
∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
.
3
B．－ 53 D.
5
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sin2α－cos2α
＝sinα－cosα＝2
sinα＋cos2α
2
2
tan2α－13＝2＝－. 5tanα＋1
3.[诱导公式及应用]设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，23π?
那么f??6?＝( )
1
A. 2C．0
B.
3 2
1
D．－ 2
23π??17π?17π
解析：选A 由，得f?＝f＋sin ?6??6?611π?11π17π＝f?＋sin ＋sin ?6?665π?5π11π17π＝f?＋sin ＋sin ＋sin ?6?6665π?π?－π?＋sin π ＝f?＋sin ＋sin?6??6?661111
－?＋＝. ＝0＋＋?2?2?22[解题方略]
1．同角三角函数根本关系式的应用技巧 知弦求弦 知弦求切 利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 常通过平方关系、对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α建立联系，sin α注意tan α＝的灵活应用 cos α通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解 如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 11＋2? 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ??tanθ?知切求弦 和积转换法 巧用“1〞 的变换 2．利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号确实定．(注意“奇变偶不变，符号看象限〞)
[小创新——变换角度考迁移]
1nπ
1.[与数列交汇]设an＝nsin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个
25数是( )
A．25
B．50
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C．75 D．100
解析：选D 当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn>0.
2.[与算法交汇]某一算法程序框图如下图，那么输出的S的值为( )
A.3
2
B．－ D．0
3 2
C.3
π2π3π
解析：选A 由程序框图可知，该程序的功能是计算S＝sin ＋sin ＋sin ＋…＋
333sin
2 017π
的值． 3
ππ32ππ33π
π－?＝sin ＝，sin ＝sin π＝0， 因为sin ＝，sin ＝sin??3?323323sin sin sin sin
π4ππ3
π＋?＝－sin ＝－， ＝sin??3?332π5ππ32π－?＝－sin ＝－， ＝sin?3??332
π6π7ππ
2π＋?＝sin ， ＝sin 2π＝0，而sin ＝sin?3??333
2π8π2π9π
2π＋?＝sin ，sin ＝sin(2π＋π)＝sin π，所以函数值呈周期性变化，＝sin?3??333
π2π3π4π5π6π
周期为6，且sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＝0.
333333
π3
而2 017＝6×336＋1，所以输出的S＝336×0＋sin ＝.应选A.
323.[借助数学文化考查]?九章算术?是我国古代数学成就的杰出代表1
作，其中?方田?章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦
2
×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦〞指圆弧所对弦长，“矢〞2π
等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4 m的弧田，按照上述经
3
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人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质习题(2)
