有理数的乘方及混合运算（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：aa???a?an.在a中，a叫做底数， n叫做指数.
nn个要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
1
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是5，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即
．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题】
类型一、有理数乘方
1. 把下列各式写成幂的形式： (1)???2??2??2??2??????????????； ?5??5??5??5?(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5； (3)xxxxxxyy．
?2??2??2??2??2??2?【答案与解析】 (1)??????????????????????；
?5??5??5??5??5??5?(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)×5； (3) xxxxxxyy?x6y2
【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数乘方的性质】
4
2
442．计算：
（1）(?4)3 （2）?43 （3）(?3)4 33（5）??3?3?5?? （6）5 （7）（2×3）2 【答案与解析】
（1）
(?4)3?(?4)?(?4)?(?4)??64； （2）?43??4?4?4??64；
（3）
(?3)4?(?3)?(?3)?(?3)?(?3)?81； （4）
?34??3?3?3?3??81； 3（5）??3??5???333275?5?5?125； 3（6）33?3?3275?5?5； （7）
（2?3）2?62?36； （8）2×32?2?9?18
【总结升华】(?a)n与?an不同，(?a)n?(?a)(?a)???(?a)，n个而?an??aa???a表示a的n次幂的相反数．
n个举一反三：
?22【变式1】计算：(1)(-4)4 (2)23 (3)??2
?5?? (4)(-1.5)
（4）?348）2×32
（
【答案】 (1)(-4)=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；
4
?2?2243
(2)2＝2×2×2=8； (3)?????
55525??(4) (-1.5)=(-1.5)×(-1.5)=2.25
【变式2】（2015?长沙模拟）比较（﹣4）和﹣4，下列说法正确的是（ ）
A． 它们底数相同，指数也相同 B． 它们底数相同，但指数不相同
C． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D． 虽然它们底数不同，但运算结果相同 【答案】D．
解：比较（﹣4）=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣4=﹣4×4×4=﹣64， 底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.
3
3
3
3
2
2类型二、乘方的符号法则
3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
?5?72420092010
(-2)，(-3)，(-1.0009)，??，-(-2)
?3?【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：
(-2)运算的结果是负；(-3)运算的结果为正；(-1.0009)
2010
7
24
2009
5?5?运算的结果是负；???3?5运算的结果是正；-(-2)运算的结果是负． 【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三：
【变式】计算：(-1)的结果是( )．
A．-l B．1 C．-2009 D．2009 【答案】A
2009
类型三、有理数的混合运算
4.（2016春?滨海县校级月考）计算： （1）4×（﹣
3
）×3﹣|﹣6|；
2
（2）（﹣1）×（﹣12）÷[（﹣4）+2×（﹣5）]． 【思路点拨】（1）原式先计算乘法及绝对值运算，再计算加减运算即可得到结果； （2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果． 【答案与解析】 解：（1）原式=12×（﹣
=﹣6﹣9+30﹣6
）﹣6
=9；
（2）原式=﹣1×（－12）÷（16－10）
=12÷6 =2．
【总结升华】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三：
【变式1】计算：?1?(1?0.5)??[2?(?3)] 【答案】原式??1??4132115?1?1??(2?9)??1??(?7)??1??7?5 ?666?2?324?1?【变式2】计算：(?2)?(?4)????12
?2?【答案】原式?16?(?4)?111?1??16???1??2 444【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题2（2）】
5. (?2)2003?(?2)2004? （ ）
4007（A）?2 （B）(?2)【答案】C
【解析】逆用分配律可得：(?2)以答案为：C
（C）22003 （D）?22003
2003?(?2)2004?(?2)2003[1?(?2)]??(?22003)?22003，所
【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式. 举一反三：
【变式】计算：(?)?(?)
34743737443类型四、探索规律
【答案】(?)?(?)?[(?)?(?)]?1
7344376.（2014秋?埇桥区校级期中）你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到 根面条，第5次捏合抻拉得到 根面条，第n次捏合抻拉得到 根面条，要想得到64根细面条，需 次捏合抻拉.
第1次 第2次 第3次 【答案】8; 32; 2n; 6
【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到： 第1次：21?2；第2次：22?4；第3次：2?8；…；第n次：2n.
3第3次捏合抻拉得到面条根数：23，即8根；第5次得到：25，即32根；第n次捏合抻拉得到2n；
因为2?64，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循． 举一反三：
【变式】已知2＝2，2＝4，2＝8，2＝16，2＝32，…，观察上面的规律，试猜想2末位数字是________． 【答案】6.
1
2
3
4
5
2008
6的
有理数的乘方及混合运算(基础)知识讲解
