有理数的乘方及混合运算(基础)
责编:杜少波
【学习目标】
1.理解有理数乘方的定义;
2.掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算; 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power).
即有:aa???a?an.在a中,a叫做底数, n叫做指数.
nn个要点诠释: (1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果. (2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.
1
(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是5,指数1通常省略不写. 要点二、乘方运算的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即
.
要点诠释:
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.
(2)任何数的偶次幂都是非负数. 要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 要点诠释:
(1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算;
(2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.
(3)在运算过程中注意运算律的运用. 【典型例题】
类型一、有理数乘方
1. 把下列各式写成幂的形式: (1)???2??2??2??2??????????????; ?5??5??5??5?(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5; (3)xxxxxxyy.
?2??2??2??2??2??2?【答案与解析】 (1)??????????????????????;
?5??5??5??5??5??5?(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5=(-3.7)×5; (3) xxxxxxyy?x6y2
【总结升华】乘方时,当底数是分数、负数时,应加上括号.
【高清课堂:有理数的乘方及混合运算 356849 有理数乘方的性质】
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2
442.计算:
(1)(?4)3 (2)?43 (3)(?3)4 33(5)??3?3?5?? (6)5 (7)(2×3)2 【答案与解析】
(1)
(?4)3?(?4)?(?4)?(?4)??64; (2)?43??4?4?4??64;
(3)
(?3)4?(?3)?(?3)?(?3)?(?3)?81; (4)
?34??3?3?3?3??81; 3(5)??3??5???333275?5?5?125; 3(6)33?3?3275?5?5; (7)
(2?3)2?62?36; (8)2×32?2?9?18
【总结升华】(?a)n与?an不同,(?a)n?(?a)(?a)???(?a),n个而?an??aa???a表示a的n次幂的相反数.
n个举一反三:
?22【变式1】计算:(1)(-4)4 (2)23 (3)??2
?5?? (4)(-1.5)
(4)?348)2×32
(
【答案】 (1)(-4)=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256;
4
?2?2243
(2)2=2×2×2=8; (3)?????
55525??(4) (-1.5)=(-1.5)×(-1.5)=2.25
【变式2】(2015?长沙模拟)比较(﹣4)和﹣4,下列说法正确的是( )
A. 它们底数相同,指数也相同 B. 它们底数相同,但指数不相同
C. 它们所表示的意义相同,但运算结果不相同 D. 虽然它们底数不同,但运算结果相同 【答案】D.
解:比较(﹣4)=(﹣4)×(﹣4)×(﹣4)=﹣64,﹣4=﹣4×4×4=﹣64, 底数不相同,表示的意义不同,但是结果相同.
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2类型二、乘方的符号法则
3.不做运算,判断下列各运算结果的符号.
?5?72420092010
(-2),(-3),(-1.0009),??,-(-2)
?3?【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断,可得:
(-2)运算的结果是负;(-3)运算的结果为正;(-1.0009)
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2009
5?5?运算的结果是负;???3?5运算的结果是正;-(-2)运算的结果是负. 【总结升华】“一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负. 举一反三:
【变式】计算:(-1)的结果是( ).
A.-l B.1 C.-2009 D.2009 【答案】A
2009
类型三、有理数的混合运算
4.(2016春?滨海县校级月考)计算: (1)4×(﹣
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)×3﹣|﹣6|;
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(2)(﹣1)×(﹣12)÷[(﹣4)+2×(﹣5)]. 【思路点拨】(1)原式先计算乘法及绝对值运算,再计算加减运算即可得到结果; (2)原式先计算乘方运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果. 【答案与解析】 解:(1)原式=12×(﹣
=﹣6﹣9+30﹣6
)﹣6
=9;
(2)原式=﹣1×(-12)÷(16-10)
=12÷6 =2.
【总结升华】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 举一反三:
【变式1】计算:?1?(1?0.5)??[2?(?3)] 【答案】原式??1??4132115?1?1??(2?9)??1??(?7)??1??7?5 ?666?2?324?1?【变式2】计算:(?2)?(?4)????12
?2?【答案】原式?16?(?4)?111?1??16???1??2 444【高清课堂:有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题2(2)】
5. (?2)2003?(?2)2004? ( )
4007(A)?2 (B)(?2)【答案】C
【解析】逆用分配律可得:(?2)以答案为:C
(C)22003 (D)?22003
2003?(?2)2004?(?2)2003[1?(?2)]??(?22003)?22003,所
【总结升华】当几项均为幂的形式,逆用分配律提出共同的因数时,要提指数较小的幂的形式. 举一反三:
【变式】计算:(?)?(?)
34743737443类型四、探索规律
【答案】(?)?(?)?[(?)?(?)]?1
7344376.(2014秋?埇桥区校级期中)你见过拉面馆的师傅拉面吗?他们用一根粗的面条,第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条,再把两头捏在一起抻拉,反复数次,就能拉出许多根细面条,如下图,第3次捏合抻拉得到 根面条,第5次捏合抻拉得到 根面条,第n次捏合抻拉得到 根面条,要想得到64根细面条,需 次捏合抻拉.
第1次 第2次 第3次 【答案】8; 32; 2n; 6
【解析】由题意可知,每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍,所以可得到: 第1次:21?2;第2次:22?4;第3次:2?8;…;第n次:2n.
3第3次捏合抻拉得到面条根数:23,即8根;第5次得到:25,即32根;第n次捏合抻拉得到2n;
因为2?64,所以要想得到64根面条,需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是:从所给的特殊情形入手,再经过猜想归纳,从看似杂乱的问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循. 举一反三:
【变式】已知2=2,2=4,2=8,2=16,2=32,…,观察上面的规律,试猜想2末位数字是________. 【答案】6.
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2008
6的
有理数的乘方及混合运算(基础)知识讲解
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