2020年北京市石景山区高考数学一模试卷
一、选择题（共10小题）
1．设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（ ） A．{1} C．{3，4}
B．{1，2，3}
D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}
2．在复平面内，复数5+6i，3﹣2i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ ） A．8+4i
B．2+8i
C．4+2i
D．1+4i
3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A．y＝﹣x2+2
B．y＝2﹣x
C．y＝lnx
D．??= 1??4．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（ ） A．?
34
B．?
34C．√??
D．2
5．将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种 A．36
B．64
C．72
D．81
6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．2 B．4
??
C．6 D．8
7．函数??(??)=??????(????+6)（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）满足（ ） A．在(??，3)上单调递增
√
C．??(??)=3 32??
B．图象关于直线??=6对称 D．当??=
5??
时有最小值﹣1 12??
8．设{an}是等差数列，其前n项和为Sn．则“S1+S3＞2S2”是“{an}为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
??1+??2??(??1)+??(??2)
，)=22fx）x2∈R，9．设（是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，使得??(
1
，??≠??
则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①；??(??)={??②；f（x）＝x2③；
??，??=??
f（x）＝|x2﹣1|，具有性质P的函数的个数为（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
10．点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若PA1∥面AMN，则PA1的长度范围是（ ）
A．[??，√??]
√
B．[32，√??]
2√
C．[32，??]
2D．[2，3]
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知向量????=（，√），????=（√，），则∠ABC＝ ．
→
→
12
3312
22
a1＝1，12．已知各项为正数的等比数列{an}中，其前n项和为????(??∈???)，且则S4＝ ．
1
??1
?
1??2
=
2??3
，
13．能够说明“设a，b是任意非零实数，若“a＞b，则＜”是假命题的一组整数a，b
??
??
11
的值依次为 ．
14．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN|＝ ．
15．石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是 、 ．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝PB＝2√??，AC∩BD＝O． （Ⅰ）求证：BO⊥面PAC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
17．2020年，北京将实行新的高考方案，新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定．“物理、化学和生物”为其选考方案． 某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选性别考科目人数如表： 性别 男生
选考方案确定情况 选考方案确定的有16人 选考方案待确定的有12人
女生
选考方案确定的有20人 选考方案待确定的有12人
物理 16 8 6 2
化学 16 6 10 8
生物 8 0 20 10
历史 4 2 16 0
地理 2 0 2 0
政治 2 0 6 2
（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ （Ⅱ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；
（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名． 设随机变量??={
??两名男生选考方案不同，求ξ的分布列和期望．
??两名男生选考方案相同18．已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：
①??=3②a＝13③c＝15④????????= （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求△ABC的面积．
??2??2219．已知椭圆??：2+2=??(??＞??＞??)的右焦点为F（1，0），离心率为√．直线l过点
????2
??
1
3F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．
20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）． （Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．
21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，an}，n∈N*，记集合A中的元素个数为card（A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A）=??(??+1)时，称集合A具有性质P．
2（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且ai∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；
（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，an}，其中数列{an}为等比数列，ai＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（ ） A．{1} C．{3，4}
B．{1，2，3}
D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}
【分析】利用不等式的解法、集合运算性质即可得出． 解：Q＝{x||x|≤3，x∈R}＝[﹣3，3]，P＝{1，2，3，4}， 则P∩Q＝{1，2，3}． 故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．在复平面内，复数5+6i，3﹣2i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ ） A．8+4i
B．2+8i
C．4+2i
D．1+4i
【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求． 解：因为复数5+6i，3﹣2i对应的点分别为A（5，6），B（3，﹣2）． 且C为线段AB的中点，所以C（4，2）． 则点C对应的复数是4+2i． 故选：C．
【点评】本题考查了中点坐标公式，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A．y＝﹣x2+2
B．y＝2﹣x
C．y＝lnx
D．??= ??1
【分析】结合函数奇偶性及单调性的定义对各选项进行检验即可判断． 解：y＝2﹣x2为偶函数，不符合题意； y＝2﹣x，y＝lnx为非奇非偶函数，不符合题意；
结合反比例函数的性质可知，y=为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减． 故选：D．
1??
2020年北京市石景山区高考数学一模试卷 (解析版)
