第1课时 基本不等式
1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式．
两个不等式
a＋b2
叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a＋b≠2ab，ab≠即只能有a＋b>2ab，ab<
2
2
2
2
a＋b2
，
a＋b2
.
1．不等式a＋b≥2ab与ab≤
2
2
2
2
a＋b2
成立的条件相同吗？如果不同各是什么？
[答案] 不同，a＋b≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤为正实数
1
2．a＋≥2(a≠0)是否恒成立？
a＋b2
成立的条件是a，b均
a
11
[答案] 只有a>0时，a＋≥2，当a<0时，a＋≤－2
aa3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a＋b≥2ab、a＋b≥2ab均成立．( ) 4
(2)若a≠0，则a＋≥2 2
2
aa·＝4.( ) a4
(3)若a，b∈R，则ab≤?
?a＋b?2.( )
??2?
[答案] (1)× (2)× (3)√
题型一对基本不等式的理解
【典例1】 给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 4
②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 4
baabba·＝2； abaa·a＝4；
③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－??－?＋?－??
yx≤－2 xyyx??x??y????????
?－x??－y?＝－2. ?y??x?????
其中正确的推导过程为( ) A．①② B．②③ C．② D．①③
[思路导引] 根据基本不等式中的条件进行判断． [解析] 从基本不等式成立的条件考虑．
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；
②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件， 4
所以＋a≥2 4
baabaa·a＝4是错误的；
③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，?－?，
xyyxxyyx?x??y?
?－y?均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确． ?x???
[答案] D
基本不等式
a＋b2
≥ab(a>0，b>0)的2个关注点
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，即a＝b?
a＋b2
≥ab的等号成立，
a＋b2
＝ab；
②仅当a＝b时，即
[针对训练]
a＋b2
≥ab的等号成立，
a＋b2
＝ab?a＝b.
1．下列命题中正确的是( ) A．当a，b∈R时，＋≥2
abbaab·＝2 ba11??B．当a>0，b>0时，(a＋b)?＋?≥4 ?ab?9
C．当a>4时，a＋≥2 aa·＝6 a9
D．当a>0，b>0时，
2ab≥ab a＋b1
b11
[解析] A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2ab>0，＋≥2aab9?11?相乘得(a＋b)?＋?≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2 ab>0，9
?ab?
aa·
a＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，以D不正确．
[答案] B
题型二利用基本不等式证明不等式
2ab≤ab(a>0，b>0)，所a＋b【典例2】 (1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca. (2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
2019-2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2.1基本不等
