19．（本题满分13分）
已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5。 （I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2?(y?1)2?1交于A、C、D、
B四点，试证明|AC|?|BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l1,l2,且l1,l2交于点M，试求?ACM与?BDM面积之
和的最小值。
20．（本题满分14分）
?1?x,0?x?2?. 已知函数f(x)??1?x2??f(2),x?2 （I）求函数f(x)在定义域上的单调区间；
（II）若关于x的方程f(x)?a?0恰有两个不同实数解，求实数a的取值范围； （III）已知实数x1,x2??0,1?,且x1?x2?1.若不等式f(x1)?f(x2)?x?ln(x?p)在 x?(p,??)上恒成立，求实数p的最小值。
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分， 如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与交换
?1b? 已知二阶矩阵M??。求?c1??，矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）
??矩阵M将圆x2?y2?1变换后的曲线方程。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l的极坐标方程为?sin(???3)?6，圆C的参数方程为??x?10cos?，（?为
y?10sin??参数），求直线l被圆C截得的弦长。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a?b?c?2?2m?0,a?21212b?c?m?1?0. 491212(a?b?c)2 （I）求证：a?b?c?;
49142 （II）求实数m的取值范围。
参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。 1—10 DBCDB BADCC
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。 11．5? 12．4 13．24 14．①②
15．(0,a2?b2)
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．本题主要考查等差数列的概念及有关计算，数列求和的方法，简单分式不等式的解法，化归
转化思想及运算能力等。 解法一?{an}的等差数列
?Sn?na1?n(n?1)n(n?1)d?na1??2?n2?(a1?1)n…………2分 22…………4分
2又由已知Sn?pn?2n,?p?1,a1?1?2,?a1?3,
?an?a1(n?1)d?2n?1
?p?1,an?2n?1;
解法二：由已知a1?S1?p?2,
…………6分
S2?4p?4,即a1?a2?4p?4,?a2?3p?2,
又此等差数列的公差为2，?a2?a1?2,?2p?2,?p?1,
…………2分
?a1?p?2?3,
?an?a1?(n?1)d?2n?1,
…………4分
?p?1,an?2n?1;
解法三：由已知a1?S1?p?2，
…………6分
?当n?2时,an?Sn?Sn?1?pn2?2n?[p(n?1)2?2(n?1)]?2pn?p?2
…………2分
?a2?3p?2,
由已知a2?a1?2,?2p?2,?p?1,
…………4分
?a1?p?2?3,?an?a1?(n?1)d?2n?1,
?p?1,an?2n?1;
（2）由（1）知bn? …………6分
211??
(2n?1)(2n?1)2n?12n?1…………8分
?Tn?b1?b2?b3???bn
11111111?(?)?(?)?(?)???(?) 1335572n?12n?112n ?1??2n?12n?1又?Tn?…………10分
92n99???20n?18n?9,即n?,又n?N* 10(2n?1)102?使Tn?9成立的最小正整数n的值为5 …………12分 1017．本题主要考查随机变量的数学期望等概率与统计的基础知识，考查运算求解能力，分析 与解决问题能力及必然与或然的数学思想、就用意识等。满分13分 解：（I）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A
…………1分
11111141114433????4?????????……5分 22552255225510011a??(1?)2 （II）设A小区有a人，2周后非低碳族的概率25?8……7分 P?a258172周后低碳族的概率P?1? ?…………9分
252517) 依题意??B(25?…………11分 2517?17 所以E??25?…………13分 25P(A)?18．本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思
维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想。满分13分。 解：（I）证明：取AC中点F，连结OF、FB
…………1分
?F是AC中点,O为CE中点,?OF//EA且OF? ∴F//DB，OF=DB∴四边形BDOF是平行四边形 ∴OD//FB
11EA,又BD//AE且BD?AE 22…………2分 …………3分 …………4分
又?FB?平面MEG，OD?平面MEG∴OD面ABC。
（II）∵DB⊥面ABC，又?面ABDE?面ABC,面ABDE?面ABC?AB,
DB?面ABDE，
?DB?面ABC，∵BD//AE，∴EA⊥面ABC，
…………5分
如图，以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系
∵AC=BC=4∴各点坐标为：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2） E（4，0，4）
?O(2,0,2),M(2,2,0),CD?(0,4,2),OD?(?2,4,0),MD?(?2,2,2)…………6分 设面ODM的法向量n?(x,y,z)，则由n?MD可得 ???2x?4y?0令x=2，
??2x?2y?2z?0
…………7分
得：y?1,z?1,?n?(2,1,1) 设直线CD和平面ODM所成角为?。 则：sin??|n?CD|n||CD||?|(2,1,1)?(0,4,2)|?|(2,1,1)|?|(0,4,2)|66?25?30. 10 ∴直线CD和平面ODM所成角正弦值为
30.…………8分 10 （III）方法一：当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE。 …………9分
证明：取EM中点N，连结ON、CM，∵AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB， 又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE?面ABC=AB，CM?面ABC， ∴CM⊥AB，
∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON//CM， ∴ON⊥平面ABDE。
…………13分
福建省厦门市2019届高三3月质量检查理科数学
