第6讲 近轴成像
知识体系介绍
1. 折射定律近似计算 2. 折射成像问题
知识点拨
一：近轴折射光线近似计算原理 引入：视深视高问题
学过光学的人都知道的基本常识，我们从水面看水中的鱼，看到的像要比实际深度浅，那么具体值是多少呢？不妨研究一下：如图所示，一个物点位于折射率为n的媒质中h0深处，当在媒质界面正上方观察时，物体的视深为：h=
h0n。
sini证：根据光路可逆和折射定律：n=sin r一般瞳孔的线度d=2～3毫米，因此i和r都非常小，则
sinisini?tani=a,sinr?tanr=h0。故有n=sinr=hah0h
可见：视深比实深小。
反过来：
如果从折射率为n的媒质中，观察正上方距液面高为h0的物点，则视高为h=nh0。
当然，以上的结论并不具有普遍意义，都谈不上是公式。但是推导的过程给了我们一些提示，对于近轴的光线，入射角度和折射角度都是非常小的，所以我们在使用折射定律的时候不妨“无赖”一点，根据数学计算的方便把正弦，正切，弧度角随意互换使用，我们还会经常使用正弦定理，把角的正弦比等效为边长之比。给一些定义后，我们来导一个有指导意义的公式。 几个重要概念：
①像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。
②实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶
高一·物理·竞赛班·第6讲·教师版 讲述高端的真正的物理学
1
点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。
③焦点与焦距：平行光线射向光学器件后，实际汇聚的点叫实焦点，反向延长汇聚的点叫虚焦点。光具到焦点的距离叫焦距。焦距可以看成无穷远的实物对光具成像的相距。
例题精讲
【例1】在一个曲率半径为R的左右两侧面各有折射率为n1， n2的两种透明介质，证明球介面折射的成像公式为：
n1n21??(n1?n2)。当入射光uvRQQ?uv从顶点射向球心时，R取正值，当入射光从球心射向顶点时，R取负值。
【证明】略
公式应用：从以上成像公式推导入手，令u→?或者v→?可以得到焦点公式，令R→?则得到平界面成像公式，前面表述的视深问题是这个公式一个特例。如果我们把前一次的像当作下一次的物，利用多次成像的原理可以得到多界面成像公式。 类似的，也容易推导球面反射公式。
【例2】一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F，这F点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F，这F点称为凸镜的虚焦点。焦点F到镜面顶点O之间的距离叫做球面镜的焦距f。可以证明，球面镜焦距f等于球面半径R的一半，即f?R
2OFC高一·物理·竞赛班·第6讲·教师版 讲述高端的真正的物理学
2
知识点拨
111??u?f 二．球面镜成像公式：
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像
v为正，虚像v为负。像长h’和物长h之比为成像放大率，用m表示，m?h??
?hu由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。 表Ⅰ 凹镜成像情况 物的性质 实物 物的位置 ? 像的位置 同侧f 同侧f～2f 同侧2f 同侧f～2f 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 放大 放大 缩小 像的正倒 倒 倒 倒 倒 正 正 像的虚实 实 实 实 实 虚 实 ?～2f 2f 2f～f f f～0 虚物 ? 异侧?～0 异侧0～f 表Ⅱ 凸镜成像情况
物的性质 实物 虚 物 物的位置 f～? 像的位置 异侧0～f 同侧f～2f 同侧2f 同侧?～2f 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 放大 像的正倒 正 倒 倒 倒 正 像的性质 虚 虚 虚 虚 实 ?～2f 2f f～2f f f～0 ? 异侧?～0 薄透镜成像 1.三条特殊光线：
①通过光心的光线方向不变； ②平行主轴的光线，折射后过焦点；
高一·物理·竞赛班·第6讲·教师版 讲述高端的真正的物理学
3
③通过焦点的光线，折射后平行主轴。
111??u?f 式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。 2.薄透镜成像公式是：
例题精讲
【例3】证明平薄透镜左右焦点公式f1?f2? 证略
【例4】证明两焦距为f1 ，f2薄透镜贴在一起，新透镜的焦距公式
R n?1111?? f1f2f证略
总结：联立以上公式，我们知道了，一折射率为n,左界面半径R1，右界面半径R2的透镜在空气中的左右焦距公式
n?1n?11?? R1R2f实战应用
【例5】如图所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，
球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b．试近似地求出玻璃的折射率n
【答案】
b a【例6】水平放置的曲率半径R=60cm的凹球面镜装有水，水的折射率是1.333，假设水的 深度比半径R要小得多，试求它的焦距？
Rf??30cm2【解析】：如没水，则焦距 现在相当于对平介面成像．其中物距为虚，M??30cm
m1??0uv'由 ∴v'?22.5cm，即为真实焦距，∵v'?0，∴为实焦．
【例7】图所示为一凹球面镜，球心为C，内盛透明液体。已知C至液面高度CE为40.0cm，主轴CO上有一物A，物离液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率n。
高一·物理·竞赛班·第6讲·教师版 讲述高端的真正的物理学
4
CA光圈rCAnEO
iiBEDO
【解析】: 主轴上物A发出的光线AB，经液体界面折射后沿BD方向入射球面镜时，只要BD延长线经
过球心C，光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光线相交于A。
对空气、液体界面用折射定律有 sini?n?sinr n?sini?BE/AB
sinrBE/CB当光圈足够小时，B→E，因此有n?CE?40.0?1.33
AE30.0【例8】作图题：
1） 如下左图，假设光线方向从左至右，画出物体AB经光组后的像（F为实焦点）. 2） 如下右图，假设光线方向从左至右，画出虚物AB的相（F为实焦点）.
【解析】
【例9】一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上。
（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。 （2）用计算法求出此像的位置和大小。
H F 2f F/ 高一·物理·竞赛班·第6讲·教师版 讲述高端的真正的物理学
5
物理竞赛全套-第6讲近轴成像教师版
