圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第13章能量方法13.1复习笔记一、应变能的普遍表达式1．杆件应变能的计算（1）轴向拉伸或压缩线弹性范围内，轴力沿轴线变化的杆件，总的应变能为V???
F
2
N
?x?dx
l
2EAFN2lEA(?l)2
V??W??
2EA2l轴向拉伸应变能密度为1ν?????2E2
（2）纯剪切线弹性范围内，纯剪切的应变能密度为：?21τ2νε?τγ?
22G杆件总的应变能为：V???ν?dV
V（3）扭转1/176圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台线弹性范围内，在扭矩T作用下，杆件总的应变能为：V???
（4）弯曲线弹性范围内，全梁的应变能为：T
2
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l
2GIp
M2?x?dxV???l2EI2．普遍表达式Vε＝Fδ/2式中，δ为F作用点沿F方向因F作用而引起的位移。图13-1-1克拉贝依隆原理：受多个外力作用的线弹性体，其总应变能等于各外力单独作用产生的应变能之和，即Vε＝W＝F1δ1/2＋F2δ2/2＋F3δ3/2＋…如图13-1-1所示，在组合变形作用下，整个杆件的应变能2/176圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台FN2?x?dxM2?x?dxT2?x?dxV???????lll2EA2EI2GIp
二、互等定理如图13-1-2所示，依次在构件上作用两组力F1、F2和F3、F4，可得到构件的应变能图13-1-21111
??F2??V?1?F1?1?F2?2?F3?3?F4?4?F1?122222
在线弹性范围内，应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关，更换两组力的作用次序得1111
V?1?F3?3?F4?4?F1?1?F2?2?F3?3??F4?4?
2222
1．功的互等定理第一组力F1、F2在第二组力F3、F4引起的位移上所作的功，等于第二组力F3、F4在第一组力F1、F2引起的位移上所作的功，可表示为F1δ′1＋F2δ′2＝F3δ′3＋F4δ′4
3/176圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台2．位移的互等定理若只有F1和F3作用且F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移，等于F3作用点沿F3方向因作用F1而引起的位移，可表示为δ′1＝δ′3
三、卡氏定理若将结构的应变能表达为载荷Fi（i＝1，2，3，…）的函数，则应变能对任一载荷Fi
的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移δi，可表示为?V??i?
?Fi
此处卡式定理具体是指卡式第二定理，只适用于线弹性结构。卡式第一定理（适用于线性、非线性弹性结构）：若结构应变能用位移δ（i＝1，2，3，…）i
的函数来表述，那么应变能对任一位移δi的偏导数就等于该位移方向上的荷载Fi，可表示为Fi?
?V???1,?2,?,?i,????i
四、莫尔定理与图乘法1．莫尔定理虚功原理：外力所做的虚功等于内力在相应虚位移上所做的功，也等于杆件的虚应变能。虚功原理与材料性能无关，适用于线弹性材料和非线性弹性材料；力和位移呈非线性关系的结构也可使用虚功原理。4/176圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台单位载荷法：为求得已知构件上某一点的位移，在该点作用一单位力，在单M（x）和T（x）位力单独作用下，构件截面上的轴力、弯矩、扭矩分别为FN（x）、，并将已知外力作用下的位移作为虚位移，利用虚功原理求解。若材料是线弹性的，可以得到莫尔定理：（1）对于抗弯为主的杆件，点的位移：＿
＿
＿
M?x?M?x?dx???lEI（2）对有n根杆的杆系，点的位移：FNiFNili???
EAii?1
n
（3）对于受扭杆件某一截面的转角有：T?x?T?x?dx
???lGIp
2．图乘法利用图乘法可简化对莫尔积分的运算，莫尔积分中有?M?x?M?x?dx??Ml＿
＿
C其中，MC为M（x）图中与M（x）图的形心C对应的坐标。对于计算过程中常用图形的面积和形心C位置的计算公式如图13-1-3所示。5/176
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