数学试题答案
一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 A 5 C 6 D 7 D 8 C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ） 题号 答案 题号 答案 9 2 13 10 11 12 8 14 y??2x an?3?2n?1 11?甲 z=（?)(x?y)(x,y?R) xy开放性试题 23?2;h(t）?4sin(t?)?2 106?? 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由正弦定理得：
(2a?c)cosB?bcosC?（2sinA?sinC)cosB?sinBcosC?cosB?（Ⅱ）由三角形面积公式得：
1? ?B? 231acsinB?3?ac?4 22222由余弦定理得：b?a?c?2accosB?(a?c)?3ac?24?b?26 所以，?ABC的周长为6?26 16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）A学校高中生的总人数为2000?50?1000人， 10040A学校参与“创城”活动的人数为1000??800人
50494913?(1?)?(1?)?? 51051050（Ⅱ）设有1人参与“创城”活动这一事件为M， 则P(M)?（Ⅲ）设参与“创城”活动人数为?，则?可取0，1，2，3 由题意可知，A学校高中学生参与率为
4， 5
1111111214， P(??1)?C3， P(??0)???????55512555512544148446434 P(??3)?C3 P(??2)?C32??????555125555125
? P E??3?0 1 2 3 1 125412? 5512 12548 12564 125P17.（本小题满分14分）
E解：（Ⅰ）由题意可知，PA?平面ABCD，则BD?PA，又底面ABCD是菱形，
FADBD?AC，所以，BD?平面PAC，BD?CF
（Ⅱ）
(i)由（Ⅰ）可知，OB?OC，过O作OZ//PA，建立如图所示的坐标系，则
BCB(0,?33,0),D(0,33,0),F(?3,0,2),P(?3,0,6),C(3,0,0)PC?(6,0,?6),FB?(3,?33,?2),FD?(3,33,?2)设平面BDF的法向量为
???
PZn?(x,y,z)
?EFAOBCXDY??3x?33y?2z?0??n?(2,0,3) ???3x?33y?2z?0设PC与平面BDF所成角为?，
??则sin??n?PCn?PC???26 26PGMFAOBCD（ii）设G是PF的中点，连结EG,CG,OF，
?EG//FD则??平面CEG//平面FBD ?CG//OF所以直线EG上任一点M与C的连线CM,都满足CM//平面
EBDF，直线EG被直线PA,PD所截线段EG的长度为:由（i）333（0，?3，4），E(?,?,3)?EG?10 可知，G2218. （本题满分14分）
2c22x2y2?2?,a?2,b?2???1 解：（Ⅰ）由题意知：4a?8,e?2a442（Ⅱ）（i）当直线错误!未找到引用源。的斜率不存在时，满足题意.
当直线错误!未找到引用源。的斜率存在时，可设直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到，A、B的坐标分别为.联立引用源。错误!未找到引用源。
错误!未找到引
得错误!未找到引用源。. 用源。
.……8分
错误!未找到引用源。
OBB1xQyAPkQA
y?2y?2(kx?1)x2?(kx2?1)x1x?x?1,kQB/?2?kQA?kQB/?1?2k?12?0x1?x2x1x2x1x2所以，Q,A,B1三点共线。 （ii）由（i）可知，
QAQAxPA ??1?QBQB1x2PB19.（本题满分14分）
解：(Ⅰ)由题意得：f(x)?ae(x?1)?f(0)?a?a?1
/x/x2x2x（Ⅱ）（i）g(x)?f(x)?b(?x)?xe?b(?x)?g/(x)?(x?1)(ex?b)
22当x?[0,??)时，若b?1,e?b?0?g(x)?0，g(x)递增，则g(x)?g(0)?0
/1,x2?lnb?0，g(x)在(0,lnb)递减，则当x?[0,??)时，若b?1,g(x)?0?x1??（舍）x/g(lnb)?g(0)?g(x)?0不恒成立，所以，b的最大值为1.
x2xx（ii）g(x)?xe?b(?x)?x[e?b(?1)]，显然g(x)有一个零点0；
22x设t(x)?ex?b(?1)?t/(x)?ex?x2b 2当b?0时，t(x)无零点；所以g(x)只有一个零点0 当b?0时，有t(x)?0，所以t(x)在R上单增，
/
2?22又t(0)?1?b?0,t(?2)?eb?1?0，由零点存在定理可知，
b所以t(x)在(??,0)上有唯一一个零点x0，所以g(x)有二个零点 综上所述，b?0时，g(x)只有一个零点0，b?0时，g(x)有二个零点. 20.（本题满分14分）
解：（Ⅰ）数列?an?, anam?25?3n?m?2?列”。
5?(5?3n?m?1)?an?m,所以数列?an?不是“指数型数3bn?m?4n?m?4n?4m?bnbm，所以数列?bn?是“指数型数列”
（Ⅱ）数列??1?1311?1?是??2??1?3(?1)，“指数型数列”an?2anan?1?3an?1?
aaaaan?1nn?1n?n??1??1??a?n?是
等
比
数
列
，
所以
11?1?(?1)?3n?1?3nana1，
(111?1)(?1)?3n3m?3n?m?(?1) anaman?m所以数列??1??1?是“指数型数列” ?an?（Ⅲ）若数列?an?是“指数型数列”，由定义得：
an?m?anam?an?1?a1an?an?a1n?(假设数列?an?中存在三项as,a?1n) a?2at,au成等差数列，不妨设s?t?u
则2at?as?au，得：2at?as?au?2(整理得：2(a?1)t?sa?1ta?1sa?1u)?()?() a?2a?2a?2(a?2)u?s?(a?2)u?s?(a?1)u?s （*）
u?s若a为偶数时，右边为偶数，(a?1)为奇数，则左边为奇数，（*）不成立； 为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；
若a为奇数时，右边为偶数，(a?2)u?s所以，对任意的a?N*，（*）式不成立.
北京市门头沟区2019届高三3月综合练习（一模）数学（理）试卷（含答案）
