2019北京门头沟区高三综合练习（一模）
数 学（理） 2019.3
一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知集合A?{xx2?2x?3?0},B?{xy?x}，则AIB等于
A． （?1,3) B．[0,3) C． (?1,0] D. (?1,2] 2. 复数z满足z?2i1?i，那么z是 A．2 B．22 C．2 D. 3 3. 一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为
A.63 B．8 C．83 D．12
4. 右面的程序框图，如果输入三个实数a,b,c要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的
A．c?x B．x?c C．c?b D．b?c ????5.已知向量a,b满足a?b?1，且其夹角为???，则“a?b?1”是“??(?3,?]”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是 BM NAAMA BNQB QBMQMQA. B. C. D. NAN7.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人。则不同的选派方法的种数是 A．18 B．21 C． 36 D．42
8. 若函数f?x?图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对?A,B?称为函数f?x?的“友好
?x2?2ex?m?1,x?0?点对”，且点对?A,B?与?B,A?可看作同一个 “友好点对”.若函数f?x???e2?x?,x?0x?（其中e为自然对数的底数，e?2.718）恰好有两个“友好点对”，则实数m的取值范围为 A．m?(e?1) B． m?(e?1) C．m?(e?1) D． m?(e?1) 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ） ?x?y?1≤0?9. 若x，y满足条件?x?y?1≥0，则z?x?2y的最大值为 ．
?y?0?2210. 双曲线C:2x?y?1的渐近线方程是 .
222211．等比数列?an?中，S3?21,2a2?a3则数列?an?的通项公式an? . ?x?t12．已知直线l的参数方程为?（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建
?y?t?1立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?sin相交于两点A,B，则AB? . 13．已知x,y?R，求z?(x?2y)(??2若直线l与曲线C??4cos??0???0,0???2??，
2x4)的最值. y
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：
z?(x?2y)(?甲：
2x44x4y248)?2???8?18 乙：z?(x?2y)(?)?22xy?2?16 yyxxyxy①你认为甲、乙两人解法正确的是 .
②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确
14．一半径为4m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点P从水中浮现时开始计时,即从图中点P0开始计算时间. (Ⅰ)当t?5秒时点P离水面的高度 ；
Py4321–4–3–2–1(Ⅱ)将点P距离水面的高度h(单位: m)表示为 时间t(单位: s)的函数，则此函数表达式为 . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分12分）
在△ABC中，且满足已知(2a?c)cosB?bcosC. （Ⅰ）求?B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为3，a?c?6，求△ABC的周长.
O–1–2–3–41234xP016．（本小题满分12分）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A,B,C,D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：
学校 抽查人数 “创城”活动中参与的人数 A 50 40 B 15 10 C 10 9 D 25 15 （注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值） 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.
（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；
（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从A,C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；
（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”
活动人数的分布列及数学期望.
17.（本小题满分14分）在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为6的菱形，且?ABC?600，
PA?平面ABCD，PA?6，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点.
（Ⅰ）求证：BD?CF （Ⅱ）若AF?2,
（i）求PC与平面BDF所成角的正弦值； （ii）侧面PAD内是否存在过点E的一条直线， 使得该直线上任一点M与C的连线,
都满足CM//平面BDF，若存在,求出此直线 被直线PA,PD所截线段的长度，若不存在，请明理由.
BCFADEPx2y218. （本题满分14分）如图， 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0),F1,F2分别为其左、右焦点，
ab过F1的直线与此椭圆相交于D,E两点，且△F2DE的周长为8,椭圆C的离心率为 (Ⅰ)求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系错误!未找到引用源。中，已知点P(0,1)与点Q(0,2)，过P的动直线错（不与x轴平行）与椭圆相交于A,B两点，点B1是点B关于y轴的对称点. 误!未找到引用源。求证：
（i）Q,A,B1三点共线. （ii）
19.（本题满分14分）已知f(x)?axe在点(0,0)处的切线与直线y?x?2平行。
x2. 2QAPA. ?QBPB
(Ⅰ)求实数a的值；
x2（Ⅱ）设g(x)?f(x)?b(?x)
2（i）若函数g(x)?0在[0,??)上恒成立,求实数b的最大值； （ii）当b?0时，判断函数g(x)有几个零点，并给出证明.
*20.（本题满分14分）给定数列?an?，若满足a1?a(a?0且a?1)，对于任意的n,m?N，都
有am?n?anam，则称数列?an?为“指数型数列”.
n?1n（Ⅰ）已知数列?an?，?bn?的通项公式分别为an?5?3,bn?4，试判断数列?an?，?bn?是不
是“指数型数列”；
（Ⅱ）已知数列?an?满足a1??1?1*?1，判断数列,an?2anan?1?3an?1(n?N)??是否为“指数
2?an?a?1(a?N*)，证明数列?an?中任意三项都不能构a?2型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （Ⅲ）若数列?an?是“指数型数列”，且a1?成等差数列.
北京市门头沟区2019届高三3月综合练习（一模）数学（理）试卷（含答案）
