一、选择题(每小题6分，共36分)
1． 设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
2． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z1995
1
，Z19952
，…，Z20所对应的不同的点的个数是( )
1995
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20
6． 设O是正三棱锥P—ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，
PB的延长线分别交于Q，R，则和式++
PQPRPS(A)有最大值而无最小值 (B有最小值而无最大值
(C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常数 二、填空题(每小题9分，共54分)
1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且
α
2为实数，则|α|=． β
111
2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为．
2
3． 用[x]表示不大于实数x的最大整数， 方程lgx－[lgx]－2=0的实根个数是．
y≤3x，
x4． 直角坐标平面上，满足不等式组y≥， 的整点个数是．
??3?x+y≤100
5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是．
6． 设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15x?A，则A中元素的个数最多是．
第二试
2
一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．
32
二、(25分) 求一切实数p，使得三次方程5x－5(p+1)x+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．
[来源:Z|xx|k.Com]
四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．
1995年全国高中数学联赛一试(解答)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1． 设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 【答案】C
【解析】3(a+7d)=5(a+12d)，?d=－
222a，令an=a－a (n－1)≥0，an+1=a－an<0，得393939
n=20．选C．
3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子
中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )
4． 已知方程|x－2n|=kx(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )
1
(A)k>0 (B)0 11(C) 【解析】由|x－2n|≥0，故k≥0，若k=0，可知在所给区间上只有1解．故k>0． 1 由图象可得，x=2n+1时，kx≤1．即k≤．故选B． 2n+1 22222 又解：y=(x－2n)与线段y=kx(2n－1 222222 (2n－1，2n+1]上有两个根．故△=(4n+k)－16n>0．且(2n－1)－(4n+k)(2n－1)+4n>0， 121222 (2n+1)－(4n+k)(2n+1)+4n≥0，2n－1<2n+k<2n+1．?k≤． 22n+1 6． 设O是正三棱锥P—ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA， 1 1 1 PB的延长线分别交于Q，R，则和式++ PQPRPS(A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常数 二、填空题(每小题9分，共54分) 1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且【答案】2 【解析】设α=x+yi，(x，y∈R)，则|α－β|=2|y|．∴y=±3． 设argα=θ，则可取θ+2θ=2π，(因为只要求|α|，故不必写出所有可能的角)．θ=π，于是x=±1．|α|=2． 23 α 2为实数，则|α|=． β 3． 用[x]表示不大于实数x的最大整数， 方程lgx－[lgx]－2=0的实根个数是． 【答案】3 2 【解析】令lgx=t，则得t－2=[t]．作图象，知t=－1，t=2，及1 当1 10 2 5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是． 【答案】420 【解析】顶点染色，有5种方法， [来源:Zxxk.Com]底面4个顶点，用4种颜色染，A4=24种方法，用3种颜色，选 1对顶点C2，这一对顶点用某种颜色染C4，余下2个顶点，任选2色染，A3种，共有C2C4A3=48种方法；用2种颜色染： A4=12种方法； ∴共有5(24+48+12)=420种方法． 6． 设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15x?A，则A中元素的个数最多是． 2 1 2 112 41
1995年全国高中数学联赛试题及详细解析
