(整理)常用空间曲面

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第六节 常用空间曲面

一、曲面方程的概念

在第四节中，我们已经知道了，在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示；反过来，一个三元一次方程的图形是一个平面。在一般情况下，如果曲面S与三元方程

F(x,y,z)?0 （1）

有下述关系：

z F(x,y,z)?0

（1） 曲面S上任一点

的坐标都满足方程（1）； （2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1） （1）就叫做曲面S的方程，而叫做方程（1）的图形（图6-21）。 平面解析几何中把平面曲线当迹一样，在空间解析几何中，曲面看作一个动点按照某个规

那么方程

S 曲面S就

O y x 象在

作动点轨图6-21 我们常把 律运动而成的轨迹。

运用这个观点，我们来建立球面方程。

解：设M(x,y,z)是球面上任一点，那么

例1 若球心在点M0(x0,y0,z0)，半径为R，求该球面方程。

M0M?R 222MM?(x?x)?(y?y)?(z?z)0000又 故 (x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?R （2）

这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。

如果球心在原点，那么x0?y0?z0?0，从而球面方程为 将（2）式展开得

2222x2?y2?z2?R2

所以，球面方程具有下列两个特点：

（1） 它是x,y,z之间的二次方程，且方程中缺xy,yz,zx项；

222222x2?y2?z2?2x0x?2y0y?2z0z?x0?y0?z0?R?0

（2） x,y,z的系数相同且不为零。

现在我们要问，满足上述两个特点的方程，它的图形是否为球面呢？

例2 方程x?y?z?4x?y?0表示怎样的曲面？ 解：配方，得

222117(x?2)2?(y?)2?z2?24

171(2,?,0)2所以所给方程为球面，球心为，半径为2。

例3 方程x?y?z?2x?2y?z?3?0是否表示球面？ 精品文档

222精品文档

解：配方，得

显然没有这样的实数x,y,z能使上式成立，因而原方程不代表任何图形。

以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x,y,z间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。

（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。

（2） 已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。

例1是从已知点的轨迹建立曲面方程的例子，例2、例3是由已知x,y,z间方程研究它所表示的曲面的形状的例子。

下面，作为基本问题（1）的例子，我们讨论旋转曲面；作为基本问题（2）的例子，我们讨论柱面和二次曲面。

13(x?1)2?(y?1)2?(z?)2??24

二、旋转曲面

一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。旋转曲线

和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

设在yOz坐标面上有一条已知曲线C，它的方程为f(y,z)?0，曲线C绕z轴旋转一周，得到一个以z轴为轴的旋转曲面（图6-22）

设M1(0,y1,z1)为曲线C上一点，则有

z M1(0,y1,z1) M(x,y,z) f(y,z)?0 f(y1,z1)?0（3）

O x y 当曲线C绕z轴旋转时，点M1随C绕到另一点M(x,y,z)，这时，z?z1且点M到z轴

图6-22 22d?x?y?y1

的距离为

22将z1?z，y1??x?y代入（3）式，便得到

f(?x2?y2,z)?0 （4）

这就是所求的旋转曲面的方程。

22?x?yf(y,z)?0y由此可知，在曲线C的方程中将改成便得曲线C绕z轴旋转

所成的旋转曲面的方程。

同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为

f(y,?x2?z2)?0 （5）

例1 求

z yOz坐标面上的抛物线

y2?2pz(p?0)绕z轴旋转而成的旋转曲

面的方程。

解：绕z轴旋转所成的旋转曲面叫旋转抛物面（图6-23），它的方程为 例5 将xOz坐标面上的双曲线

x2?y2?2pz

精品文档 O 图6-23

y x

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分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解：绕z轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为

x2z2??1a2c2

绕x轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为

x2?y2z2?2?1a2c

x2y2?z2??1a2c2

例6 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角?（

2）叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在原点O，旋转轴为z轴，半顶角为?的圆锥面的方程（图

6-24）。

解：在yOz坐标面上直线L的方程为z?ycot?，因

22?x?yy为旋转轴为z轴，所以只要将方程中的改成，

0????z 便得到这圆锥面的方程

z??x2?y2cot?

y x 图6-24

或 z?k(x?y) 其中k?cot?。

2222叫做柱面的母线。我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方

程有什么特点呢？下面举例说明。

三、柱面

设直线L平行于某定直线并沿定曲线C移动，则直线L形成的轨迹叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，直线Lz z P(x,y,z) O x

O y x y 图6-26 图6-25

222x?y?R问方程表示什么曲面？

在xOy坐标面上，方程x?y?R表示圆心在原点，半径为R的圆。在空间直角坐

标系中，方程缺z，这意味着不论空间中的点的竖坐标z怎样，凡是横坐标x和纵坐标y满足这方程的点都在方程所表示的曲面S上；反之，凡是点的横坐标x和纵坐标y不满足这精品文档

222精品文档

个方程的，不论竖坐标z怎样，这些点都不在曲面S上，即点P(x,y,z)在曲面S上的充分必要条件是点P?(x,y,0)在圆x?y?R上。而P(x,y,z)是在过点P?(x,y,0)且平行于z轴的直线上，这就是说方程x?y?R表示：由通过xOy坐标面上的圆x?y?R上的每一点且平行于z轴（即垂直于xOy坐标面）的直线所组成，即方程x?y?R表示柱面，该柱面称为圆柱面（图6-25）。

222222222222x,y)?0，一般地，如果方程中缺z，即f(类似于上面的讨论，可知它表示准线在xOy坐标面上，母线平行于z轴的柱面。而方程g(y,z)?0,h(x,z)?0分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面方程。

例如方程y?x，方程中缺z，所以它表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面

22z 上的抛物线y?x，该柱面叫做抛物柱面（图6-26）。

又例如，方程x?z?0表示母线平行于y轴的柱面，其准线是xOz面上的直线x?z?0，所以它是过y轴的平面（图6-27）。

y x O 图6-27

四、二次曲面

最简单的曲面是平面，它可以用一个三元一次方程来表示，所以平面也叫做一次曲面。与平面解析几何中规定的二次曲线类似，我们把三元二次方程

F(x,y,z?)所表示的曲面称为0空间直角坐标系，可得它们的标

面的标准方程来讨论二次曲面的

（1） 椭圆锥面

z 二次曲面。选取适当的准方程，下面就二次曲形状。

x2y22??za2b2

以垂直于z轴的平面z?t截点(0,0,0)；当t?0时，得平面

y x

图6-28

此曲面，当t?0时得一

z?t上的椭圆

x2y2??122(at)(bt)

当t变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当从大到小变为0时，这族曲线从大

到小并缩为一点。综合上述讨论，可得椭圆锥面（1）的形状（如图6-28）

平面z?t与曲面F(x,y,z)?0的交线成为截痕。通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。

本节前面讨论过旋转曲面，我们还可以利用伸缩变形的方法，由已知的旋转曲面来得出二次曲面的大致形状。

先介绍伸缩变形法。曲面F(x,y,z)?0沿y轴方向伸缩?倍，曲面F(x,y,z)?0的点

tM(x1,y1,z1)变为点M?(x2,y2,z2)，其中

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x1?x2,y1?1?y2,z1?z2，因为点M在曲面

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F(x,y,z)?0上，所以有F(x1,y1,z1)?0，故

F(x2,1?y2,z2)?0。

x2?y2x2?y2b2?z?z222例如将圆锥面a的图形沿y轴方向伸缩a倍，则圆锥面a即变成x2y22??z2b2椭圆锥面a。

（2）

（3） 椭球面

z y x2y2z2???1a2b2c2

22xy??122xOyab把面上的椭圆绕y轴旋x2?z2y2?2?12b转，所得的曲面方程为a，该曲

面称为旋转椭球面。再把旋转椭球面沿z轴方向

c伸缩a便得椭球面（2）（图6-29）。

（3）双曲面

x x2y2z2?2?2?12bc单叶双曲面 a

x2y2z2?2?2?12abc双叶双曲面 z z x

O y O x 图6-31 y 图6-30

z x2z2?2?12xOzac把面上的双曲线绕z轴旋转，得旋转

x2?y2z2?2?12c单叶双曲面a，把此旋转曲面沿y轴方向伸

b缩a倍，即得单叶双曲面（如图6-30）。类似的方法可得双

叶双曲面（如图6-31）

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图6-32