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算得样本均值为
xˉ=1122×∑r=05r?r=1122×(0×44+1×42+2×21+3×9+4×4+5×2) ≈1.123, 因此
P?{X=0}=e-xˉ=e-1.123≈0.3253.
习题6.3 置信区间 习题1
对参数的一种区间估计及一组观察值(x1,x2,?,xn)来说,下列结论中正确的是(). (A)置信度越大,对参数取值范围估计越准确; (B)置信度越大,置信区间越长; (C)置信度越大,置信区间越短; (D)置信度大小与置信区间有长度无关. 解答： 应选(B).
置信度越大，置信区间包含真值的概率就越大，置信区间的长度就越大，对未知参数的估计精度越低.
反之，对参数的估计精度越高，置信区间的长度越小，它包含真值的概率就越低,置信度就越小. 习题2
设(θ1,θ2)是参数θ的置信度为1-α的区间估计，则以下结论正确的是(). (A)参数θ落在区间(θ1,θ2)之内的概率为1-α;
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(B)参数θ落在区间(θ1,θ2)之外的概率为α; (C)区间(θ1,θ2)包含参数θ的概率为1-α;
(D)对不同的样本观察值，区间(θ1,θ2)的长度相同. 解答： 应先(C).
由于θ1,θ2都是统计量，即(θ1,θ2)是随机区间，而θ是一个客观存在的未知常数，故(A),(B)不正确. 习题3
设总体的期望μ和方差σ2均存在，如何求μ的置信度为1-α的置信区间？ 解答：
先从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,?,Xn.根据中心极限定理，知
U=Xˉ-μσ/n→N(0,1)(n→∞).
(1)当σ2已知时，则近似得到μ的置信度为1-α的置信区间为
(Xˉ-uα/2σn,Xˉ+uα/2σn).
(2)当σ2未知时，用σ2的无偏估计S2代替σ2, 这里仍有
Xˉ-μS/n→N(0,1)(n→∞),
于是得到μ的1-α的置信区间为
(Xˉ-uα/2Sn,Xˉ+uα/2Sn),
一般要求n≥30才能使用上述公式，称为大样本区间估计. 习题4
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某总体的标准差σ=3cm, 从中抽取40个个体，其样本平均数xˉ=642cm, 试给出总体期望值μ的95%的置信上、下限(即置信区间的上、下限). 解答：
因为n=40属于大样本情形，所以Xˉ近似服从
N(μ,σ2n)
的正态分布，于是μ的95%的置信区间近似为
(Xˉ±σnuα/2),
这里xˉ=642,σ=3,n=40≈6.32,uα/2=1.96, 从而
(xˉ±σnuα/2)=(642±340×1.96)≈(642±0.93),
故μ的95%的置信上限为642.93, 下限为641.07. 习题5
某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需求量为10kg, 方差为9，如果这个商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计(α=0.01), 并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需求？ 解答：
因为n=100属于大样本问题，所以Xˉ近似服从N(μ,σ2/n),于是μ的99%的置信区间近似为(Xˉ±Snuα/2), 而
xˉ=10,s=3,n=100, uα/2=2.58,
所以
(xˉ±snuα/2)=(10±3100×2.58)=(10±0.774)=(9.226,10.774).
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由此可知最少要准备10.774×10000=107740(kg)这种商品，才能以0.99的概率满足需求. 习题6 观测了100棵“豫农一号”玉米穗位，经整理后得下表(组限不包括上限): 分组编号 12345 组限 组中值 频数
分组编号 6789 组限 组中值 频数 试以95%的置信度，求出该品种玉米平均穗位的置信区间. 解答：
因为n=100属于大样本情形，所以μ的置信度为95%的置信区间上、下限近似为Xˉ±snuα/2, 这里n=100,uα/2=1.96, 还需计算出xˉ和s. 取a=115,c=10, 令zi=(xi-a)/c=(xi-115)/10, 用简单算公式， (1)xˉ=a+czˉ; (2)sx2=c2sz2.
120～130130～140140～150150～16012513514515520742 70～8080～9090～100100～110110～12075859510511539131626 -
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编号 123456789 758595105115125135145155 组中值xi zi=xi-11510 -4-3-2-101234 组频率mi mizi zi2 mizi2 3913162620742 -12-27-26-1602014128 16941014916 123456789 zˉ=1100∑i=19mizi=1100×(-27)=-0.27,
xˉ=10×(-27)+115=112.3,
sz2=199∑i=19mizi2=199×313≈3.161616, sx2=102×3.161616=316.1616, sx≈17.78.
于是
(xˉ±snuα)≈(112.3±17.7810×1.96)≈(112.3±3.485) =(108.815,115.785). 习题7
某城镇抽样调查的500名应就业的人中，有13名待业者，试求该城镇的待业率p的置信度为0.95置信区间.
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概率论与数理统计(理工类-第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章
