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第六章 参数估计
6.1 点估计问题概述 习题1
总体X在区间[0,θ]上均匀分布，X1,X2,?,Xn是它的样本，则下列估计量θ?是θ的一致估计是().
(A)θ?=Xn; (B)θ?=2Xn;
(C)θ?=Xˉ=1n∑i=1nXi; (D)θ?=Max{X1,X2,?,Xn}. 解答： 应选(D).
由一致估计的定义，对任意?>0, P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣
FX(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ, 及F(x)=FMax{X1,X2,?,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)?FXn(x), 所以
F(?+θ)=1, F(-?+θ)=P(Max{X1,X2,?,Xn}<-?+θ)=(1-xθ)n,
故
P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣
习题2
设σ是总体X的标准差，X1,X2,?,Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差σ的().
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(A)矩估计量； (B)最大似然估计量； (C)无偏估计量； (D)相合估计量. 解答： 应选(D).
因为，总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见，样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量. 习题3
设总体X的数学期望为μ,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，a1,a2,?,an是任意常数，验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai (∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量. 解答： E(X)=μ,
E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai?∑i=1naiE(Xi) (E(Xi)=E(X)=μ) =μ∑i=1nai∑i=1n=μ,
综上所证，可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的无偏估计量. 习题4
设θ?是参数θ的无偏估计，且有D(θ?)>0, 试证θ?2=(θ?)2不是θ2的无偏估计. 解答：
因为D(θ?)=E(θ?2)-[E(θ?)]2, 所以
E(θ?2)=D(θ?)+[E(θ?)]2=θ2+D(θ?)>θ2,
故(θ?)2不是θ2的无偏估计. 习题5
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设X1,X2,?,Xn是来自参数为λ的泊松分布的简单随机样本，试求λ2的无偏估计量. 解答：
因X服从参数为λ的泊松分布，故
D(X)=λ, E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2=E(X)+λ2,
于是E(X2)-E(X)=λ2, 即E(X2-X)=λ2.
用样本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=Xˉ代替相应的总体矩E(X2),E(X), 便得λ2的无偏估计量
λ?2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-Xˉ.
习题6
设X1,X2,?,Xn为来自参数为n,p的二项分布总体，试求p2的无偏估计量. 解答：
因总体X～b(n,p), 故
E(X)=np,
E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2 =np+n(n-1)p2=E(X)+n(n-1)p2,
E(X2)-E(X)n(-1)=E[1n(n-1)(X2-X)]=p2,
于是，用样本矩A2,A1分别代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得p2的无偏估计量
p?2=A2-A1n(n-1)=1n2(n-1)∑i=1n(Xi2-Xi).
习题7
设总体X服从均值为θ的指数分布，其概率密度为
f(x;θ)={1θe-xθ,x>00,x≤0,
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其中参数θ>0未知. 又设X1,X2,?,Xn是来自该总体的样本，试证：Xˉ和n(min(X1,X2,?,Xn))都是θ的无偏估计量，并比较哪个更有效. 解答：
因为E(X)=θ, 而E(Xˉ)=E(X), 所以E(Xˉ)=θ, Xˉ是θ的无偏估计量.设
Z=min(X1,X2,?,Xn),
因为
FX(x)={0,x≤01-e-xθ,x>0,
FZ(x)=1-[1-FX(x)]n={1-e-nxθ,x>00,x≤0,
所以fZ(x)={nθe-nxθ,x>00,x≤0, 这是参数为nθ的指数分布，故知E(Z)=θn, 而
E(nZ)=E[n(min(X1,X2,?,Xn)]=θ,
所以nZ也是θ的无偏估计.现比较它们的方差大小. 由于D(X)=θ2, 故D(Xˉ)=θ2n. 又由于D(Z)=(θn)2, 故有
D(nZ)=n2D(Z)=n2?θ2n2=θ2.
当n>1时，D(nZ)>D(Xˉ), 故Xˉ较nZ有效. 习题8
设总体X服从正态分布N(m,1),X1,X2是总体X的子样，试验证
m1?=23X1+13X2, m2?=14X1+34X2, m3?=12X1+12X2,
都是m的无偏估计量；并问哪一个估计量的方差最小? 解答：
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因为X服从N(m,1), 有
E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2),
得
E(m1?)=E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m, D(m1?)=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59,
同理可得：E(m2?)=m,D(m2?)=58, E(m3?)=m,D(m3?)=12.
所以，m1?,m2?,m3?都是m的无偏估计量，并且在m1?,m2?,m3?中，以m3?的方差为最小. 习题9
设有k台仪器. 已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi(i=1,2,?,k), 用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1,X2,?,Xk. 设仪器都没有系统误差，即E(Xi)=θ(i=1,2,?,k), 问a1,a2,?,ak应取何值，方能使用θ?=∑i=1kaiXi估计θ时，θ?是无偏的，并且D(θ?)最小？ 解答：
因为E(Xi)=θ(i=1,2,?,k), 故
E(θ?)=E(∑i=1kaiXi)=∑i=1kaiE(Xi)=θ∑i=1kai,
欲使E(θ?)=θ, 则要∑i=1kai=1.
因此，当∑i=1kai=1时，θ?=∑i=1kaiXi为θ的无偏估计, D(θ?)=∑i=1kai2σi2, 要在∑i=1kai=1的条件下D(θ?)最小，采用拉格朗日乘数法. 令
L(a1,a2,?,ak)=D(θ?)+λ(1-∑i=1kai)=∑i=1kai2σi2+λ(1-∑i=1kai),
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概率论与数理统计(理工类-第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章
