中考数学压轴题汇编：几何综合（附解析）
（2024年）
1．（2024?无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°， ∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10． 在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=， ∴BE=AB?cos∠ABE=∴AE=∴AF=AE﹣EF=
=
， ，
．
﹣10=
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°， ∴∠ABC+∠ADF=90°， ∵cos∠ABC=，
∴sin∠ADF=cos∠ABC=．
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=，
∴AD===6．
2．（2024?南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证： （1）∠BOD=∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．
证明：（1）
延长OA到E， ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO， 又∠BOE=∠ABO+∠BAO， ∴∠BOE=2∠BAO， 同理∠DOE=2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO） 即∠BOD=2∠BAD， 又∠C=2∠BAD， ∴∠BOD=∠C； （2）连接OC，
∵OB=OD，CB=CD，OC=OC， ∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD， 又∠BOD=∠BCD， ∴∠BOC=∠BCO， ∴BO=BC，
又OB=OD，BC=CD， ∴OB=BC=CD=DO， ∴四边形OBCD是菱形．
3．（2024?淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．
解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下： 连接OE、OD，如图， ∵AC是⊙O的切线， ∴AB⊥AC， ∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点， ∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3， ∵OB=OD， ∴∠B=∠3， ∴∠1=∠2， 在△AOE和△DOE中
，
∴△AOE≌△DOE，
中考数学压轴题汇编：几何综合(附解析)
