指数函数的图像与性质
【教学目标】
（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； （2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
【教学重难点】
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 【教学过程】
㈠情景导入、展示目标
1． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
1 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的○多少倍？
2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○
3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ ○
2． 上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
3． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
上面的几个函数有什么共同特征？ ㈡检查预习、交流展示
1．根据预习说以下你是怎么理解指数函数的定义？ 2．指数函数的性质有哪些？ ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：指数函数的概念
一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自
[来源学科网ZXXK]x变量，函数的定义域为R．
1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； 注意：○
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2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零○和1．
例１：指出下列函数那些是指数函数：
（１）y?4（２）y?（6）y?4xx（３）y??4 （４）y?(?4)（５）y??4xxxx2（7）y?xx（８）y?(2a?1)x(a?1,a?1) 2解析：利用指数函数的定义解决这类问题。 解：（１），（５），（８）为指数函数 （２）是幂函数（３）是－１与指数函数的乘积（４）中底数－４＜０，不是指数函数（６）中指数不是自变量ｘ，而是
x2的函数（７）中底数不是常数
点评：准确理解指数函数的定义是解好本题的关键．
变式训练一：１．函数y?(a2?3a?3)?a是指数函数，则有（ ）
xＡ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且a?1
答案:C
探究点二：指数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
1x31x（2）y?()
2（1）y?() （3）y?2 （4）y?3 （5）y?5
x2．从画出的图象中你能发现函数y?2的图象和函数y?()的图象有什么关系？可x否利用y?2的图象画出y?()的图象？
xxxxxx12x12x3．从画出的图象（y?2、y?3和y?5）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？ 图象特征 函数性质 a?1 0?a?1 a?1 0?a?1 向x、y轴正负方向无限延伸 第2页 共8页
函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 函数图象都在x轴上方 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 图象上升趋势是越来越陡 自左向右看， 图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越缓 非奇非偶函数 函数的值域为R+ a0?1 增函数 减函数 x?0,ax?1 x?0,ax?1 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； x?0,ax?1 x?0,ax?1 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； 5.利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1)，总有f(1)?a； （4）当a?1时，若x1?x2，则f(x1)?f(x2)；
例２：求下列函数的定义域 （１）y?1x?4[来源学科网]
2 （2）y?5x?1
解析：求定义域注意分母不为零，偶次根式里面为非负数。 解（１）：令ｘ－４?０，得ｘ?４， 故定义域为（－?，４）?（４，＋?） （2）：
?x?1?0,?x?1,
所以y?5x?1的定义域为{xx?1}
点评：求函数的定义域是解决函数问题的基础。
变式训练二：y?2?(1)2x的定义域 答案：［－１，＋?］
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
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【板书设计】 一、指数函数 1．定义 2. 图像 3. 性质 二、例题 例1 变式1 例2 变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2.1.2 指数函数的图像与性质
课前预习学案
一．预习目标
了解指数函数的定义及其性质． 二．预习内容
１．一般地，函数 叫做指数函数． ２．指数函数的定义域是 ，值域 ． ３．指数函数y?４．指数函数y?aax(a?0,a?1)的图像必过特殊点 ．
(a?0,a?1)，当 时，在(??,??)上是增函数；当 时，
x在(??,??)上是减函数．
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点 课内探究学案
一．学习目标
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疑惑内容 （1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； （2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 二、学习过程 1.（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
1 按照上述材料中的1%的增长率，○从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○
3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ ○
2.上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
3.一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
上面的几个函数有什么共同特征？ 探究一：指数函数的定义及特点：
例１：指出下列函数那些是指数函数：
[来源:学科网ZXXK]?4)41y?4x（7）y?x（８）y?(2a?1)(a?,a?1)
2（１）y?24x（２）y?xx4（３）y??x （４）y?(x（５）
y??x（6）
x
变式训练一：１．函数y?(a2?3a?3)?a是指数函数，则有（ ）
xＡ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且a?1
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高中数学必修1 指数函数的图像与性质
