大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（新课标文科）
专题05导数及其应用解答题
本专题考查的知识点为：导数及其应用，历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数研究函数的性质，导数的几何意义，预测明年本考点题目会有所变化，备考方向以导数研究函数的极值、最值和单调性为重点较佳.
1．【2020年全国1卷文科20】已知函数??(??)=???????(??+2). （1）当??=1时，讨论??(??)的单调性； （2）若??(??)有两个零点，求??的取值范围.
【答案】（1）减区间为(?∞,0)，增区间为(0,+∞)；（2）(??,+∞). 【解析】
（1）当??=1时，??(??)=?????(??+2)，??′(??)=?????1， 令??′(??)<0，解得??<0，令??′(??)>0，解得??>0， 所以??(??)的减区间为(?∞,0)，增区间为(0,+∞)； （2）若??(??)有两个零点，即???????(??+2)=0有两个解， 从方程可知，??=2不成立，即??=令?(??)=
??????+2
??????+2
1
有两个解，
(??+2)2(??≠?2)，则有?′(??)=
????(??+2)?????
=
????(??+1)(??+2)2，
令?′(??)>0，解得??>?1，令?′(??)<0，解得??
而??→?2+时，?(??)→+∞，当??→+∞时，?(??)→+∞， 所以当??=
??????+2
有两个解时，有??>?(?1)=，
??
1
1
所以满足条件的??的取值范围是：(??,+∞).
2．【2020年全国2卷文科21】已知函数f（x）=2lnx+1． （1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=
??(??)???(??)?????
的单调性．
【答案】（1）??≥?1；（2）??(??)在区间(0,??)和(??,+∞)上单调递减，没有递增区间 【解析】
（1）函数??(??)的定义域为：(0,+∞)
??(??)≤2??+?????(??)?2?????≤0?2ln??+1?2?????≤0(?)， 设?(??)=2ln??+1?2?????(??>0)，则有?′(??)=?2=
??2
2(1???)??
，
当??>1时，?′(??)<0,?(??)单调递减， 当00,?(??)单调递增， 所以当??=1时，函数?(??)有最大值，
即?(??)max=?(1)=2ln1+1?2×1???=?1???， 要想不等式(?)在(0,+∞)上恒成立， 只需?(??)max≤0??1???≤0???≥?1； （2）??(??)=因此??′(??)=
2ln??+1?(2ln???1)
?????
=
2(ln???ln??)
?????
(??>0且??≠??)
2(????????ln??+??ln??)
??(?????)2，设??(??)=2(????????ln??+??ln??)，
则有??′(??)=2(ln???ln??)，
当??>??时，ln??>ln??，所以??′(??)<0，??(??)单调递减，因此有??(??)
当00，??(??)单调递增，因此有??(??)
所以函数??(??)在区间(0,??)和(??,+∞)上单调递减，没有递增区间. 3．【2020年全国3卷文科20】已知函数??(??)=??3?????+??2． （1）讨论??(??)的单调性；
（2）若??(??)有三个零点，求??的取值范围． 【答案】（1）详见解析；(2) (0,).
274
【解析】
（1）由题，??′(??)=3??2???，
当??≤0时，??′(??)≥0恒成立，所以??(??)在(?∞,+∞)上单调递增； 当??>0时，令??′(??)=0，得??=±√3，令??′(??)<0，得?√3
??
??
??
令??′(??)>0，得??√，所以??(??)在(?√,√)上单调递减，在
3
3
3
3
????????
(?∞,?√)，(√,+∞)上单调递增.
3
3
????
??(?√)>0
3
（2）由（1）知，??(??)有三个零点，则??>0，且
??
??(√3)<0{ ??2+??√>0
33 22??
???3??√3<0{
42
??
??
即
，解得0
4
27
，
当0√3，且??(√??)=??2>0， 所以??(??)在(√,√??)上有唯一一个零点，
3??
??
同理????1
3
??
所以??(??)在(????1,?√)上有唯一一个零点，
3
??
又??(??)在(?√3,√3)上有唯一一个零点，所以??(??)有三个零点， 综上可知??的取值范围为(0,).
274
????
4．【2019年新课标3文科20】已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+2． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）当0＜a＜3时，记f（x）在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围． 【答案】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a）， 令f′（x）＝0，得x＝0或x=3．
若a＞0，则当x∈（﹣∞，0）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（0，3）时，f′（x）＜0． 故f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减；
3
3
??
??
??
??
??
若a＝0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
若a＜0，则当x∈（﹣∞，）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（，0）时，f′（x）＜0．
3
3
??
??
故f（x）在（﹣∞，3），（0，+∞）上单调递增，在（3，0）上单调递减；
（2）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，3）上单调递减，在（3，1）上单调递增，
??
??
????
专题05导数及其应用解答题(解析版)
