高三第一轮复习点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系

点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系

【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）

1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；

能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 主干知识归纳 1．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1) 若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2) 若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3) 若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 2．直线与圆的位置关系

方法 过 程 联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac 依据 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 d

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).

方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

方法规律总结

1．解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本数量关系．

2．若给出的直线方程和圆的方程都带有字母，利用上述两种方法有时比较麻烦，这时只要说明直线过圆内的定点即可．

3．求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为|PO|－r，最大值为|PO|＋r(其中r为圆O的半径)． 4．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．

5．在解题过程中能适当利用圆系方程，有时可达到理想效果．圆系是具有某些共同性质的圆的集合.

几何法：圆心距d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 【指点迷津】

【类型一】点与圆的位置关系

【例1】：若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )

A．－1＜a＜1 答案：A.

B．0＜a＜1 C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1

【解析】：∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，即－1＜a＜1.

【例2】：若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )

A．(－∞，－2)

B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)

D．(2，＋∞)

【解析】：曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a＞2. 答案：D.

【例3】：．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是( )

A．[－1,1]

11

B．[－，]

22

C．[－2，2]

D．[－

22，] 22

【解析】：当点M的坐标为(1,1)时，圆上存在点N(1,0)，使得∠OMN＝45°，所以x0＝1符合题意，故排除B，D；当点M的坐标为(2，1)时，OM＝3，过点M作圆O的一条切线MN′，连接ON′(图略)，则在Rt△OMN′中，sin∠OMN′＝

32

＜，则∠OMN′＜45°，故此时在圆O上不存在点N，使得∠32

OMN＝45°，即x0＝2不符合题意，排除C，故选A． 答案：A.

【类型二】直线与圆的位置关系

【例1】：圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )

A．30

B．18

C．62

D．52

【解析】：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为62. 答案：C.

【例2】：已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )

A．?x±

|2＋2－14||2＋2－14|

＋32＝82，最小距离为－32＝22，故最大距离与最小距离的差为22

?

1413?224333

＋y＝ B．?x±?2＋y2＝ C．x2＋?y±?2＝ D．x2＋?y±?2＝ 333??3??3?3?3?3

π2

【解析】：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin

33π243343

＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋?y±?2＝.

3333?3?33答案：C.

【例3】：已知圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的面积为S，平面区域D：2x＋y≤4与圆面C的公共区域的面积1

大于S，则实数a的取值范围是________．

2

【解析】：依题意并结合图形分析可知(图略)，圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的圆心(a,0)应在不等式2x＋y≤4

2

?a－1＞0

表示的平面区域内，且(a,0)不在直线2x＋y＝4上，即有?，由此解得a＜－1或1＜a＜2，因此，

?2a＋0＜4

实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1,2)． 答案：(－∞，－1)∪(1,2).

【类型三】圆与圆的位置关系

【例1】：a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.

(1)外切；(2)相交．

【解析】：将两圆方程写成标准方程．

C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋)2＋(y－a)2＝4.

∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2， 设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.

(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2. 答案：(1) a＝－5或a＝2. (2)－5＜a＜－2或－1＜a＜2.

【例2】：(2014·安徽合肥二模)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相内切，则ab的最大值为________． 【解析】：由C1与C2内切得即(a＋b)2＝1，又ab≤?1答案：. 4

【例3】：（2009年四川省科第题）若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点， 且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．

1|AB|【解析】：依题意得∴△OO1A是直角三角形，|OO1|＝5＋20＝5，S△OO1A＝··|OO1|

222·|OA|·|AO1|2×5×251

＝·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝＝＝4. 2|OO1|5答案：4.

a＋b

2＋－2＋2

2＝1.

a＋b?211

＝，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为. 4?2?4

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组

一、选择题

1. 圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )

A．内切 ∴两圆相交． 答案：B.

2. 直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )

A．相交

B．相切

C．相离

D．不确定

?mx－y＋1－m＝0

【解析】： 法一：由?2，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 2

＝5?x＋y－因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交．

|m|

法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝2＜1＜5，故直线l与圆相交．

m＋1答案：A.

3. 若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有3个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的值为( )

A．2＋1

B．2－1

C．0

D．2±1

2

＝2＞1，由题意知直线l：x－y－2＝0与圆相交， 2

B．相交

C．外切

D．相离

【解析】：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2＜d＜3＋2，

【解析】：计算得圆心到直线l的距离为

作直线l1，l2与l平行，且与直线l的距离都为1，故可以看出，圆的半径为2＋1.

答案：A.

4. 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【解析】：因为圆心到直线的距离为

|9＋12－11|

＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相 5

交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个． 答案：C.

xy

5. 若直线＋＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则

ab

A．a2＋b2≤1

B．a2＋b2≥1

( )

11D.2＋2≥1 ab

11

C.2＋2≤1 ab

xy

【解析】：直线＋＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，因此圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距

ab离应小于等于1. ∴答案：D. 二、填空题

6. 以点A(－1,3)为圆心，且与圆(x－3)2＋y2＝9外切的圆的方程为________． 【解析】：两圆心间的距离d＝＋

22|－ab|

11

≤1，∴＋≥1.

a2b2a2＋b2＋－＝5，

已知圆的半径为3，故所求圆的半径r＝5－3＝2， 因此所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4. 答案：(x＋1)2＋(y－3)2＝4.

7. (2014·北京朝阳一模)已知直线y＝x＋m与曲线x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，若|AB|≥23，则实数m的取值范围为________．

111

【解析】：设AB的中点为D，由|OD|2＋|AB|2＝4，得4＝|OD|2＋|AB|2≥|OD|2＋×12＝|OD|2＋3，从而得

444|OD|≤1，由点到直线的距离公式可得|OD|＝答案：[－2，2].

8. (2010·辽宁阜新调研)过点(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.

【解析】：∵(1－2)2＋(2)2＝3＜4，∴点(1，2)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l. ∵答案：

2

. 2

2－02

＝－2，∴所求直线l的斜率为. 21－2

|m|

≤1，解得－2≤m≤2. 2

三、解答题

9. 已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程． 【解析】：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4， 则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|

23

＝2.解得a＝－.

4a＋1

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质， |CD|＝，?a＋1?

得?|CD|＋|DA|＝2，

1??|DA|＝2|AB|＝2，

22

2

2

|4＋2a|

解得a＝－7，或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 3

答案：(1)a＝－. (2)7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

410. 已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)． (1)求过点A的圆的切线方程；

(2)O点是坐标原点，求△AOC的面积S. 【解析】：(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，

当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件． 当斜率存在时，设直线为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，则311

∴切线方程为x＝3或y＝x＋. 44

(2)|AO|＝9＋25＝34，lAO：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝3111

答案：(1) x＝3或y＝x＋. (2) .

442

111

，∴S＝d|AO|＝. 2234|－k＋2|

23

＝1，解得k＝.

4k＋1

【二级目标】能力提升题组

一、选择题

→→

1. (2014·福建福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则CA·CB的值为

A．－1 ?y＝x＋2由?2

＋?x－→→

∴CA·CB＝0. 答案：B.

2. (2014·江南十校联考)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是

A．－3＜m＜1

B．－4＜m＜2

C．0＜m＜1

D．m＜1( )

【解析】：根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径． ∵圆x2＋y2－2x－1＝0可化为(x－1)2＋y2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2， ∴d＝

|1－0＋m|

＜2， 2

B．0

C．1

D．6

( )

【解析】：依题意，点C的坐标为(3,3)．

y－

?x＝3?x＝1→→??，解得或，可令A(3,5)，B(1,3)，∴CA＝(0,2)，CB＝(－2,0)，2

＝4?y＝5?y＝3

∴|m＋1|＜2，

∴－3＜m＜1，由题意知m的取值范围应是(－3,1)的一个真子集，故选C． 答案：C. 二、填空题

3. (2014·江苏苏州高三调研)在直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(0,1)，则满足PA2－PB2＝4且在圆x2