[基础题组练]
??x＝cos t，
1．(2024·山东省安丘市、诸城市联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：?(t为
?y＝1＋sin t?
参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程π
θ－?＝33. 为2ρcos ??3?
(1)求曲线C1的极坐标方程；
π
(2)已知点M(2，0)，直线l的极坐标方程为θ＝，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线
6C2的交点为Q，求△MPQ的面积．
??x＝cos t，
解：(1)C1：?
?y＝1＋sin t，?
其普通方程为x2＋(y－1)2＝1，化为极坐标方程为C1：ρ＝2sin θ. ρ＝2sin θ，??π
1，?， (2)联立C1与l的极坐标方程?解得P点极坐标为?π?6?
??θ＝6，?
联立C与l的极坐标方程?π
θ＝?6，2
π
θ－3?＝33，2ρcos???
π
3，?，所以PQ解得Q点极坐标为??6?
π
＝2，又点M到直线l的距离d＝2sin ＝1，
6
1
故△MPQ的面积S＝PQ·d＝1.
2
?x＝1＋cos α，?
2．(2024·江西九江模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α
??y＝sin αx22
为参数)，曲线C2：＋y＝1.
3
(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程； π
(2)射线OT：θ＝(ρ≥0)与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|的大小．
6
?x＝1＋cos α?
解：(1)由?得(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，
??y＝sin α所以C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ； ρ2cos2 θ22x22
由＋y＝1得C2的极坐标方程为＋ρsin θ＝1. 33
1
ρ＝2cos θ??π
(2)联立?得|OA|＝ρ1＝2cos ＝3， π6θ＝6??
?联立?π
θ＝?6
ρ2cos2 θ22
＋ρsin θ＝1，3
得|OB|＝ρ2＝2，
所以|AB|＝3－2.
3．平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
??x＝－2＋tcos α，解：(1)直线l的参数方程为?(t为参数)，
?y＝－4＋tsin α?
ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线C得
直角坐标方程为y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x得 t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0， 设A，B对应的参数分别为t1，t2，
20
由一元二次方程根与系数的关系得t1t2＝2，
sinα根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝3π＝. 4
π
又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝. 4
20π
＝40，得α＝或α
4sin2α?x＝2cos φ，
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：?(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2
?y＝sin φ－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
π
(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．
2
?x＝2cos φ，x22
解：(1)因为?(φ为参数)，所以曲线C1的普通方程为＋y＝1.
2?y＝sin φ??x＝ρcos θ，2
由?得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝2θ. 1＋sin?y＝ρsin θ?
2
因为x2＋y2－2y＝0，
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝所以|OA|2＋|OB|2＝
2
，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，
1＋sin2α222
＋4sinα＝＋4(1＋sin2α)－4， 221＋sinα1＋sinαπ
因为0<α<，所以1<1＋sin2α<2，
22
所以6<＋4(1＋sin2α)<9， 21＋sinα所以|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5)．
[综合题组练]
1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x＝4.曲线C的参数方程是
?x＝1＋2cos φ，
(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． ?
?y＝1＋2sin φ(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；
π|OA|
ρ≥0，0<α
解：(1)由x＝ρcos θ，得直线l的极坐标方程为ρcos θ＝4.
?x＝1＋2cos φ，
曲线C的参数方程为?(φ为参数)，
?y＝1＋2sin φ消去参数φ得曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2， 即x2＋y2－2x－2y＝0，
将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ. (2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，
4
则ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝，
cos α|OA|ρ1（2cos α＋2sin α）cos α所以＝＝
|OB|ρ24sin αcos α＋cos2α11＝＝(sin 2a＋cos 2α)＋
244＝
π12?
sin?2α＋4??＋4， 4
πππ3π因为0<α<，所以<2α＋<，
4444
3
高考理科数学一轮复习分层练习选修-坐标系
