1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|－4a·b等于( ) A．23 B．57 C．63 D．83 解析：选D.∵|a|＝?－4?2＋32＝5，a·b＝－4×5＋3×6＝－2，∴3|a|2－4a·b＝3×52－4×(－2)＝83.故选D.
2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
13
A.13 B.
5
65C. D.65 5
a·b－8＋2165
解析：选C.|a|cos θ＝＝＝.
|b|565
3．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
11A．－ B. 7711C．－ D. 66
解析：选A.向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，因为两个向量垂直，故有(－3λ
1
－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝－，故选A.
7
4．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( ) A.5 B.10 C．25 D．10
解析：选B.由a⊥c得2x＋1×(－4)＝0，所以x＝2；由b∥c得1×(－4)＝2y，所以y＝－2.从而a＝(2,1)，b＝(1，－2)
∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝ 32＋?－1?2＝10. 5．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( ) A．42 B．25 C．8 D．82 解析：选D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝ 82＋?－8?2＝82.
6．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，则cos θ＝________.
11
解析：法一：b＝a＋(－1，－1)＝(1,1)，则a·b＝6.
22
a·b6
又|a|＝32，|b|＝2，∴cos θ＝＝＝1.
|a|·|b|6
法二：由已知得：b＝(1,1)． 又a＝(3,3)，∴a∥b，且同向． 故θ＝0°，cos θ＝1. 答案：1
2112
7．已知a＝(，)，b＝(，－)，则向量3a＋b与－2(3a－b)的夹角为________．
5555
解析：设夹角为 θ，∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0， ∴(3a＋b)·[－2(3a－b)]＝－4，
2π
又|3a＋b|＝2，|－2(3a－b)|＝4，∴θ＝.
3
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2π答案： 3
8．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________. 解析：a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)． ∵(a＋c)⊥b， ∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，
1
∴m＝－.
2
∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2. 答案：2
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0. 解得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)， |a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， |a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝25. 10．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
→→
(1)试求向量2AB＋AC的模；
→→
(2)若向量AB与AC的夹角为θ，求cos θ. 解：(1)∵A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)， →
∴AB＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， →
AC＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，
→→
∴2AB＋AC＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)，
→→
∴|2AB＋AC|＝ ?－1?2＋72＝52.
→→
(2)由(1)知AB＝(－1,1)，AC＝(1,5)，
?－1，1?·?1，5?213∴cos θ＝＝. 13?－1?2＋12×12＋52
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高中数学 必修四 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 基础达标(含答案解析)
