第十一讲 定值问题
【套路秘籍】---千里之行始于足下 一．定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值. 二、常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数. 三、定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 特殊探究，一般证明
【例1】过抛物线y＝ax（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、
2
q，则
A．2a
+等于（ ）
B．
C．4a
D．
【答案】C
【解析】方法一：特殊探究，一般证明
1111p?q?,所以??4a 令过焦点F直线与x轴垂直，则直线的方程为y?，所以
2apq4a
yP FQ
OM图1
xN方法二：直接推理求值
Px1,y1),Q(x2,y2)且PM、QN分别垂直于准线于M、N 如图所示：设（11,q?QN?y2? 4a4a11抛物线y?ax2(a?0)的焦点为（0，),准线y??
4a4a1222?直线的方程y?kx?与抛物线联立16ay?8a(1?2k)y?1?0
4ap?PM?y1?1?2k21y1?y2?,y1y2?2a16a2， ∴
1+k2111?k2p+q=,pq?y1y2?(y1?y2)??a4a16a24a2 ?11??4apq
【举一反三】
1.已知椭圆??：??2+??2=1(??>??>0)的离心率??=（1）求椭圆??的标准方程.
?????? +?????????? =?????????? ，判定四边形????????的面（2）设直线??与??交于??，??两点，点??在??上，??是坐标原点，若????积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)
??24??2
??2
√2，且椭圆过点(√2,1). 2
+
??22
=1 (2)见解析
22???2【解析】（1）因为椭圆??的离心率??=√，所以√??2
??
=
√2，即??22
=2??2.
因为点(√2,1)在椭圆??上，所以??2+??2=1.
21
222??2=2??2
，解得{??=4 .所以椭圆??的标准方程为??+??=1. 1由{2
42+2=1??2=2??2??
（2）当直线??的斜率不存在时，直线????的方程为??=?1或??=1，此时四边形????????的面积为√6. 当直线??的斜率存在时，设直线??的方程是??=????+??，
??=????+??
，消去??，得(1+2??2)??2+4??????+2??2?4=0， 联立方程组{??2??2
+2=14??=8(4??2+2???2)>0，??1+??2=??1+??2=??(??1+??2)+2??=点??到直线????的距离是??=?????? +?????????? =?????????? ，得????=由????
2??1+2??|??|√1+??2?4????1+2??2(
?4????1+2??
2，??1??2=
2??2?41+2??2
，
，
2||2.????=√1+??×
2√2√4??2+2???21+2??2. ，????=+
(
2??1+2??2. 因为点??在曲线??上，所以有
?4????2
)1+2??22??2
)1+2??242
=1，整理得1+2??2=2??2.
由题意，四边形????????为平行四边形，所以四边形????????的面积为 ??????????=|????|??=√1+??22√2√4??2+2???21+2??2
×|??|√1+?? =22√2|??|√4??2+2???2. 1+2??2
由1+2??2=2??2，得????????????=√6，故四边形????????的面积是定值，其定值为√6.
2．已知椭圆??:??2+??2=1(??>??>0)的右焦点??与抛物线??=4??的焦点重合，且椭圆的离心率为2． （1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆??右焦点??的直线??与椭圆交于两点??、??，在??轴上是否存在点??，使得?????? ??????????? ????为定值？若存在，求出点??的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4+
??2
??23
11135
=1（2）存在点??(8,0)，使得?????? ??????????? ????=?64 ??2
??2
1
【解析】（Ⅰ）∵抛物线??2=4??的焦点为(1,0)，∴??(1,0)，∴??=1， 又因为椭圆的离心率为2，即??=2，∴??=2，??2=4，则??2=??2???2=3， 因此，椭圆的方程为
??241
??
1
+
??23
=1；
（Ⅱ）假设存在点??(??0,0)，使得?????? ??????????? ????为定值． 当直线??的斜率不为零时，可设直线??的方程为??=????+1， 联立{
+3=1
，得(3??2+4)??2+6?????9=0，
??=????+1
4??2
??2
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.11 定值问题(解析版)
