?Xj?4(e)?e?j?n?（4）
n??u(n?3)?u(n?4)????n?33e?j?n???3?e?j?n3?n?0?ej?nn?1
1?e?j7?sin??7???j3??2??1?e?j4?1?ej3?j?1?e?j?e?1?e?j??1?ej?esin??1=
?2????
2.性质
1）周期性（重点）： DTFT是关于ω的周期为2π的周期函数。
?X(ej?)?x(n)e?j(??2?M)n?X(ej(??2?M))M为整数
n????2)线性（重点）：设
X1(ej?)?FT[x1(n)]，X2(ej?)?FT[x2(n)]，那么
FT[ax1(n)?bx2(n)]?aX1(ej?)?bX?2(ej)
3）时移特性（重点）
4）频移特性
5）时域卷积定理（重点）
6）频域卷积定理
7）帕斯瓦尔定理
时域总能量等于频域一周期内总能量。
7) 幅度频谱为ω的偶函数，相位频谱为ω的奇函数。
8) X(ejω)的实部为ω的偶函数， X(ejω) 的虚部为ω的奇函数。 对称关系的总结（重点）：
如果x[n]为复数序列，其DTFT为 X(ejω), (a) x[n]实部的DTFT为X(ejω)的共轭
对称部分x?re[n]?Xcs(ej?)?1X(ej)?X*(e?j?2?)? (b)
x[n]
虚
部
的DTFT 为X(ejω)的反共轭对称部分xim[n]?Xca(ej?)?1?X(ej?)?X*(e?j?2)? (c)
x[n]的共轭对称部分的DTFT为 X(ejω)的实部*精*
-----------
-----------
-----------
*精*
xcs[n]?(d)
1?x[n]?x*[?n]??Xre(ej?) 2的反共轭对称部分的
DTFT
为
X(ejω)的虚部-----------
x[n]
xca[n]?1?x[n]?x*[?n]??jXim(ej?) 2如果实序列x[n] 的 DTFT 为X(ejω),
(e) x[n]的偶对称部分的DTFT为X(ejω) 的实部， ----------- xev[n]?1?x[n]?x[?n]??Xre(ej?) 21?x[n]?x[?n]??jXim(ej?) 2n(f) x[n]的奇对称部分的DTFT为 X(ejω) 的虚部， ----------- xod[n]?例：设系统的单位取样响应h(n)?au(n),0?a?1，输入序列为x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：（1）求出系统输出序列y(n)；（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。（重点） 解：（1）
y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2ajw?nn?2u(n?2)?jwn
X(e)?（2）H(e)?jwjwn????[?(n)?2?(n?2)]e???1?2e?j2w1
1?ae?jwau(n)ejwn?jwnn???jw??ane?jwn?n?0?1?2e?j2wY(e)?H(e)gX(e)?1?ae?jw2.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：
^X(ej?T)?Xa(j?)
X(ej?T1?2?)??Xa(j??jk?s)?s?2?Fs?Tk???T 式中
2.3 序列的Z变换 1 Z变换定义(重点)
Z变换为离散时间信号与LTI系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列x(n)，其z变换定义为：X(z)?k????x(n)z??n Rx??z?Rx? ------（记住!!）
*精*
其中，z?e,s???j?。z变换存在情况下的Z变量取值范围称为收敛域(ROC)。 注意：Z变换+不同收敛域?对应不同收敛域的不同序列 序列?（Z变换+收敛域）(重点)
例：求以下序列的Z变换及收敛域：（重点） （1）2u(?n)； （2）?2u(?n?1)； （3）2[u(n)?u(n?10)] 解：（1）ZT[2u(n)]??n?n?n?ns唯一n?????2u(n)z?n?n??2?nz?n?n?0?11,z?
1?2?1z?12?nZT[?2u(?n?1)]?（2）
?nn?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2?z?n???2nznn?1? ??n?2z11?,z?1?2z1?2?1z?129
ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n（3）
n?0 ?1?2z,0?z??1?2?1z?1?10?10
[说明]上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用X(ej?)?X(z)z?ej?。
2 Z变换和DTFT之间的关系(重点)
DTFT 为单位圆上的z变换。数学表达为：X(e)?X(z)z?ej? ------ 记住并理解!
j?3. 序列特性与X(z)的收敛域ROC的关系。(重点)
收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。
一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：Rx??|z|?Rx?
总结：a. ROC不包含任何极点。
b.有理 z变换的收敛域ROC由其极点界定。
c. 对于有限长序列x[n],其z变换的收敛域ROC 为整个z-平面，可能在 z = 0 或z = ∞除外。只有序列为?(n)时，收敛域是整个Z平面。
*精*
d. 对于右边序列x[n],其 z变换的收敛域ROC由其离原点最远的极点确定，其形式为
z?Rx?。
e. 对于左边序列x[n], 其 z变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定，其形式为z?Rx?。 f. 对于双边序列x[n], 其 z变换的收敛域ROC环状收敛域，，其形式为公共收敛域
Rx??z?Rx?。
4. Z反变换(重点)
常用序列的Z变换(重点--记住!!)：
Z[?(n)]?1,|z|?01Z[u(n)]?,|z|?11?z?1 1Z[anu(n)]?,|z|?|a|1?az?11Z[bnu(?n?1)]?,|z|?|b|?11?bz逆变换
x(n)?12?jn?1X(z)zdzx，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线 ??c留数定理：x(n)??[X(z)zn?1在C内极点留数之和]
n?1留数辅助定理：x(n)???[X(z)z在C外极点留数之和]
利用部分分式展开：X(z)?Ak?1?az?1，然后利用定义域及常用序列的Z变换求解。(重点)
k基本要求：用部分分式展开法求z反变换。(重点) 例：假设X(z)?11? ，收敛域ROC 为0.3?z?0.5,则 X(z) 的z反变换?1?11?0.5z1?0.3z*精*
为( ?(0.5)u(?n?1)?(0.3)u(n) )。（重点）
说明：本题要求掌握序列的时域特性域z变换收敛域之间的对应关系。具体说，有限长序列的z变换的ROC是怎样的，右边序列的z变换的ROC是怎样的，因果序列的z变换的ROC是怎样的，左边序列的z变换的ROC是怎样的，反因果序列的z变换的ROC是怎样的。
nn??nu(?n?1)?典型序列的z变换表达式是否记住了？
11??z?1?1ROC:z??这两个典
?u(n)?型z变换对，对求z变换或逆z变换非常重要。 例：已知
n11??zROC:z??X(z)?zz?z?0.5z?2，试求与X(z)对应的所有可能的序列x(n)。（重点）
解：同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。本题没有给定收敛域，所以必须先确定收敛域。
X(z)有两个极点：z1?0.5，z2?2，因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛域有以下三种情
况：
z?0.5，0.5?z?2，z?2，三种收敛域对应三种不同的原序列，分别讨论如下： z?0.5 对应左边序列 ∴ x(n)??0.5nu(?n?1)?2nu(?n?1)
（1）
nn0.5?z?2x(n)?0.5u(n)?2u(?n?1) （2） 对应双边序列 ∴ nnz?2x(n)?0.5u(n)?2u(n)
（3） 对应右边序列 ∴
X(z)?例：设
1(1?2z?1)(1?0.5z?1) z?2，用部分分式展开法求逆Z变换。（重点）
解：先去掉z的负幂次，以便于求解，将X(z)的分子分母同乘以z，得：
2z2X(z)?(z?2)(z?0.5)
AA2X(z)z??1?(z?2)(z?0.5)z?2z?0.5 将等式两端同时除以z，得：zA1?Res[X(z)X(z),2]?(z?2)zz?(z?2)z?2z(z?2)(z?0.5)?z?243
??z?2A2?Res[X(z)X(z),0.5]?(z?0.5)zz?(z?0.5)z?0.5z(z?2)(z?0.5)13
因而得：
X(z)?4z1z???3z?23z?0.5
数字信号处理复习总结-最终版
