*精*
关系。
?ak?0Nky[n?k]??bkx[n?k]
k?0M差分方程给出了系统响应y[n]的内部关系。为得到y[n]的显式解，必须求解方程。
2差分方程求解
1经典法 ○2递推法 ○3变换域法（参见下章z域变换）（重点） ○
例：设系统的差分方程为y(n)?0.5y(n?1)?1.5x(n)，输入序列为x(n)??(n)，求输出序列
y(n)。
解：一阶差分方程需一个初始条件。
设初始条件为：y(?1)?0
则 y(0)?0.5y(?1)?1.5x(0)?1.5 y(1)?0.5y(0)?1.5x(1)?0.75 y(2)?0.5y(1)?1.5x(2)?0.375 ? ? y(n)?1.5?(0.5)u(n) 设初始条件改为：y(?1)?1 则 y(0)?0.5y(?1)?1.5x(0)?2 y(1)?0.5y(0)?1.5x(1)?1 ? ?
y(n)?2?(0.5)u(n)
该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。
几点结论（重点）
（1）对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n>0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n<0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。
（2）一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性非时变系统，这和系统的初始状态有关。如果系统是因果的，一般在输入x(n)=0(n nny(2)?0.5y(1)?1.5x(2)?0.5 1.4 模拟信号数字处理方法 1 模拟信号数字处理框图 xa(t)：模拟信号输入 *精* 预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器） 1采样：将信号在时间上离散化 ○ A/DC：模/数转换??? 2量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值） ○ 3编码：将幅度值表示成二进制位（条件○ fs?2f） c数字信号处理：对信号进行运算处理 D/AC：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号?在采样时刻幅度发生跳变 ） 平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑 y(t)：输入信号经过处理后的输出信号 a2．连续信号的采样 对连续信号进行理想采样，设采样脉冲，则采样输出 在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时，可遵循下面的思路： 1）由 ；2）由 ； 3）根据频域卷积定理，由计算过程： 1） 2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因此 计算出。 其中系数 所以 其傅里叶变换 *精* 3） 因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为Ωs，同时幅度为原来的1/T 倍。这是一个非常重要的性质，应熟练掌握。 3 时域抽样定理（重点） 一个限带模拟信号xa(t)，若其频谱的最高频率为F0，对它进行等间隔抽样而得x(n)，抽样周期为T，或抽样频率为Fs?1/T；只有在抽样频率Fs?2F0时，才可由xa(t)准确恢复x(n)。 例：有一连续信号 xa(t)?cos(2?ft??),f?20Hz,??式中， ?2（1）求出xa(t)的周期。 %(t)x(t)x（2）用采样间隔T?0.02s对a进行采样，试写出采样信号a的表达式。 （3）求出对应 %xa(t)的时域离散信号(序列) x(n)，并求出x(n)的周期。 解：（1）xa(t)周期为T?^?1?0.05s f?（2）x(t)?x(t)?n?????(t?nT)???cos(2?fnT)??(t?nT)(T?0.05s) n???（3）x(n)的数字频率ω=0.8π，故 2???2?5?，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2) 0.8?2简答题：（重点） 1． 是不是任意连续信号离散后，都可从离散化后的信号恢复出原来的信号？为什么？ 2． 一个连续时间信号经过理想采样以后，其频谱会产生怎样的变化？在什么条件下，频谱不会产 生失真？ 3． 说明时域采样定理的要点？ 4． 离散信号频谱函数的一般特点是什么？ 5． 画出模拟信号数字处理框图。并说明各部分的作用。 名词解释：（重点） 1. 时域采样定理 2. 线性系统、时不变系统、稳定系统、因果系统 *精* 第二章：本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 1.定义 DTFT 是一个用来确定离散时间序列频谱的重要数学工具。 物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便于研究问题。 若序列满足绝对可和条件 则其离散时间傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT：非周期序列的傅里叶变换）定义为 X(ej?)?n????x[n]e???j?n------（记住!!） 1反变换定义为： x[n]?2?傅里叶变换对 ??j?j?nX(e)ed?------ ?例：设x(n)?R4(n)，求其序列傅里叶变换。（重点） 解 *精* ????X(ej?)?DTFT[x(n)]?x(n)e?j?n?RnN(n)e?j?n????n????N?1??e?j?n1?e?j?Nej?N/2?e?j?N/2e?j?N/2?n?01?e?j??ej?/2?e?j?/2?e?j?/2sin?NN?1?j2?sin?2e?2 当N?4时 X(ej?)?sin2??j3? sin?/2e2 X(ej?)的幅度和相位随?变化曲线如图2.1所示。 arg[X(ej?)]??4?12?????0或? X(ej?)?sin(??4/2)sin(?/2) x(n)1n0 1 2 3arg[X(ej?)]X(ej?)?42??0??0?2??? 图2.1 R4(n)的幅度与相位曲线 例：试求如下序列的傅里叶变换：（重点） （1） x1(n)??(n?n0) （2）x12(n)?2?(n?1)??(n)?12?(n?1) （3） x3(n)?anu(n?2), 0?a?1 （4）x4(n)?u(n?3)?u(n?4) 解： ?Xj??j?n1(e)?0e?e?j?n0（1） n??(n?n)??? ?Xj?n?x12(e)?2(n)e?j?n?j?1?j?（2） ???2e?1?2e?1?jsin? j??X3(e)?anu(n?2)e?j?n?（3） n????n???ane?j?2n?a?e2j??21?ae?j?， 0?a?1 (2-5)
数字信号处理复习总结-最终版
