九年级数学学案
课题：1.2一元二次方程的解法（根的判别式）
【学习目标】
⒈用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b?4ac对根的情况的判断作用． ⒉能用b?4ac的值判别一元二次方程根的情况；灵活应用根的判别式解决问题. 【情境创设】
⒈一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的求根公式是什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
⒉用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－23x＋3 = 0 ⑶2x2－2x＋1 = 0
⒊观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？ 【探究发现】
⒈尝试：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴x2＋2x－8 = 0 ⑵x2 = 4x－4 ⑶x2－3x = －3 思考：决定着一元二次方程的根的情况是由什么决定的？ ⒉概括总结．
⑴由此可发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由 来决定： 当 时，方程有两个不相等的实数根 当 时，方程有两个相等的实数根 当 时，方程没有实数根
⑵我们把 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式 ⑶说明：①可以不解方程求b?4ac的值来判别方程的根的情况；
②上述结论反过来也成立．
⒊概念巩固：
⑴方程3x2+2=4x的根的判别式b2-4ac的值为 ，所以方程的根的情况是 . ⑵下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 ⑶方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0 【典型例题】
例1、不解方程，判断下列关于x的一元二次方程根的情况：
2⑴?x?26x?6?0 （2）4x?1??3x （3）x2-2mx+4（m-1）=0
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精神成就事业，态度决定一切 变式：求证：不论x取何值，关于x的方程?
例2、m取什么值时，关于x的方程2x2?4mx?2?m?1??m?3??0． ⑴有两个相等的实数根？ ⑵有两个不等的实数根？
变式：已知关于x的方程2x2?4mx?2?m?1??m?3??0有实数根，求m的取值范围．
例3、已知关于x的方程kx?1?kx?2?0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． ．．．．．．．．．
【拓展延伸】
1.关于x的方程(k?2)x?2(k?1)x?k?1?0有两个实数根，求k的取值范围．
2.关于x的方程，求k的取值范围． ．．(k?2)x?2(k?1)x?k?1?0有实数根．．．
3.已知关于x的方程x2﹣3mx＋5m﹣2＝0的一个根为x＝2，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，求△ABC的周长.
22212 x??k?1?x?k2?2?0一定无实数根．
2??
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九年级数学学案
八年级数学中午作业
班级 姓名 学号
1.下列方程中，有两个不相等实数根的是__________________．(填序号)
222①x?5x?2?0；②3x?23x?1?0；③?x?2x?1?0；④2x?3x?4?0．
22.方程x?2mx?1?0根的情况是___________________________．
23.若关于x的方程x?4x?a?0有两个相等的实数根，则a?__________．
24.若关于x的方程x?2(k?1)x?k?0有实数根，则k的取值范围是____________． 5.若关于x的方程2a(1?x)?b(1?x)有两个相等的实数根，则a与b的关系是______． 6.如果关于x的一元二次方程kx?(2k?1)x?1?0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是____________．
7.不解方程，判断下列关于x一元二次方程根的情况： ①3x2+23x+1=0； ②(x?1)(2x?3)??2； ③
22222x2?k?1?kx?2
228.当m为何值时，一元二次方程x??2m?3?x?m?3?0．
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个实数根？ ⑶没有实数根？
29.关于x的一元二次方程(a?6)x?8x?6?0有实数根，求a的取值范围．
??
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精神成就事业，态度决定一切 10.已知a、b、c是△ABC的三边的长．
⑴若关于x的方程?c?b?x?2?b?a?x??a?b??0有两个相等的实数根，判断△ABC的
2形状，并说明理由．
⑵若关于x的方程x2?2?a?b?x?a2?b2?c2的形状，并说明理由．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣(3k+1)x＋2k2＋2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三
角形的三边长？
12．.若关于x的方程2(k?1)x?k?2x?
2??2?0有两个相等的实数根，判断△ABC
1?0有实数根，求k的取值范围. 4第 4 页 共 4 页
苏科版九年级上册 1.2一元二次方程的解法(根的判别式)教案
