22又∵点Q在椭圆E上，∴x0?3y0?4?0，-----------------②
2由①式得y0?2?3x0代入②式并整理得：7x0?9x0?2?0，-----③
∵方程③的根判别式??81?56?25?0，
∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------8分
（3）解法一：设点P(x1,y1)，由M、N是?O的切点知，OM?MP,ON?NP, ∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------9分 且圆的直径为OP,则圆心为(x1y1,)， 22x12y12x12?y12其方程为(x?)?(y?)?，------------------------------10分
22422即x?y?x1x?y1y?0-----④
即点M、N满足方程④，又点M、N都在?O上， ∴M、N坐标也满足方程?O:x2?y2?4---------------⑤ 3⑤-④得直线MN的方程为x1x?y1y?4，------------------------------11分 3令y?0,得m?44，令x?0得n?， 3x13y1∴x1?∴(44,y1?，又点P在椭圆E上， 3m3n424113)?3()2?4，即2?2?=定值.-----------------------------------12分 3m3n3mn4【解法二：设点P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),则kPM??1kOM??x2,----------9分 y2直线PM的方程为y?y2??x24(x?x2),化简得x2x?y2y?,--------------④ y234,---------------⑤------------------10分 3同理可得直线PN的方程为x3x?y3y?
4?xx?yy?12??123 把P点的坐标代入④、⑤得?4?xx?yy?1313?3?∴直线MN的方程为x1x?y1y?分
令y?0,得m?4，------------------------------------------------------11344n?，令x?0得，
3x13y1∴x1?∴(44,y1?，又点P在椭圆E上， 3m3n424113)?3()2?4，即2?2?=定3m3n3mn4值．---------------------------------------------12分
21. 解：（1）f′（x）=由题设f′（1）=1，∴（2）
，∴a=0．………..3分
………..1分
，?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），
即4lnx≤m（3x﹣﹣2）………..4分
设g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即?x∈[1，|+∞），g（x）≤0， ∴g′（x）=﹣m（3+
）=
，g′（1）=4﹣4m ………..6分
① 若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾………..7分
② 若m∈（0，1），当x∈（1，
），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
g（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．………..9分
③ 若m≥1，当x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立 ………..11分
综上所述，m≥1．………..12分
22.解：（1）根据题意，椭圆C的方程为则其参数方程为
+
=1，
，（α为参数）；………..1分
）=3，变形可得ρsinθcos
+ρcosθsin
=3，
直线l的极坐标方程为ρsin（θ+即ρsinθ+
ρcosθ=3，………..3分,将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得
x+y﹣6=0；………..5分
x+y﹣6=0，
即直线l的普通方程为
（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），………..6分 |2
x+y﹣1|=|4
cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+
）=﹣1时，|2
）﹣1|，………..8分
分析可得，当sin（θ+x+y﹣1|取得最大值9．…………..10分
23.解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．…..1分
①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥
；…………..2分
②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈?；…………..3分 ④ x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，………………..4分 综上所述，不等式的解集为（﹣
]
；………..5分
（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，………..7分 ∴
=（
）（2s+t）=（10++
）≥6，当且仅当s=，t=2时取等
号．..10分
2024-2024学年广东省深圳市南山区高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题
