第一章 三角函数 §1.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于________对称 －α与α 关于________对称 π－α与α 关于________对称 2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________. (4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.
知识点归纳：
1．明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 π公式四 将角转化为0～求值 22.诱导公式的记忆 这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
一、选择题 1．sin 585°的值为( )
2233
A．－ B. C．－ D. 2222
sin?nπ＋α?
2．若n为整数，则代数式的化简结果是( )
cos?nπ＋α?
A．±tan α B．－tan α
1
C．tan α D.tan α
213
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
22
第1页
1333A. B．± C. D．－ 2222
sin?α－3π?＋cos?π－α?
4．tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
sin?－α?－cos?π＋α?
m＋1m－1A. B. C．－1 D．1 m－1m＋15．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
1－k21－k2kkA. B．－ C. D．－
kk1－k21－k2π1
－，0?，则cos(π＋α)的值为( ) 6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈??2?4
55A. B．－ 33
5
C．± D．以上都不对
3
二、填空题
π35π
7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
636cos?α＋π?sin2?α＋3π?
8．三角函数式的化简结果是______.
tan?α＋π?cos3?－α－π?
1＋2sin 290°cos 430°
的化简结果是______．
sin 250°＋cos 790°
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝____.
三、解答题
sin?α－2π?＋sin?－α－3π?cos?α－3π?2
11．若cos(α－π)＝－，求的值．
3cos?π－α?－cos?－π－α?cos?α－4π?
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
9．代数式第2页
能力提升
sin[?k＋1?π＋θ]·cos[?k＋1?π－θ]
13．化简：(其中k∈Z)．
sin?kπ－θ?·cos?kπ＋θ?
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
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§1.3 三角函数的诱导公式(一)
答案
知识梳理
1．原点 x轴 y轴
2．(1)sin α cos α tan α (2)－sin α －cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －cos α －tan α 作业设计 1．A 2.C
11
3．D [由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
22
3
∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos2 α＝－ (α为第四象限角)．]
2
sin α＋cos αtan α＋1m＋1
4．A [原式＝＝＝.]
sin α－cos αtan α－1m－1
5．B [∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
1－k22∴sin 80°＝1－k.∴tan 80°＝. k1－k2∴tan 100°＝－tan 80°＝－.] k
22
6．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－＝－，
33
45
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin2 α＝－1－＝－.] 93
3
7．－ 38．tan α
－cos α·sin2α－cos α·sin2αcos α·sin2αsin α
解析 原式＝＝＝＝＝tan α.
cos2αcos αtan α·cos3?α＋π?－tan α·cos3αsin α·
9．－1
1＋2sin?180°＋110°?·cos?360°＋70°?
解析 原式＝ sin?180°＋70°?＋cos?720°＋70°?1－2sin 110°cos 70°1－2sin 70°cos 70°
＝ －sin 70°＋cos 70°cos 70°－sin 70°|sin 70°－cos 70°|sin 70°－cos 70°＝＝＝－1. cos 70°－sin 70°cos 70°－sin 70°10．3
解析 f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2 ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2 ＝2－(asin α＋bcos β)＝1， ∴asin α＋bcos β＝1，
f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2 ＝asin α＋bcos β＋2＝3.
－sin?2π－α?－sin?3π＋α?cos?3π－α?
11．解 原式＝
－cos α－?－cos α?cos α
sin α－sin αcos α＝ －cos α＋cos2α＝
第4页
sin α?1－cos α?
－cos α?1－cos α?＝－tan α. ＝
2
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
3
2
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
3
2
当α为第一象限角时，cos α＝，
3
5sin α55sin α＝1－cos2α＝，∴tan α＝＝，∴原式＝－. 3cos α22
2
当α为第四象限角时，cos α＝，
35sin α55
sin α＝－1－cos2α＝－，∴tan α＝＝－，∴原式＝.
3cos α22
5
综上，原式＝±.
2
12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
π
∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，
2π
∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．
2
?2kπ＋π－β?＋β?＋tan β tan(2α＋β)＋tan β＝tan?22????
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．
13．解 当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
sin[?2n＋1?π＋θ]·cos[?2n＋1?π－θ]sin?π＋θ?·cos?π－θ?－sin θ·?－cos θ?原式＝＝＝＝－1.
sin?2nπ－θ?·cos?2nπ＋θ?－sin θ·cos θ－sin θ·cos θ
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
sin[?2n＋2?π＋θ]·cos[?2n＋2?π－θ]原式＝ sin[?2n＋1?π－θ]·cos[?2n＋1?π＋θ]sin[2?n＋1?π＋θ]·cos[2?n＋1?π－θ]＝
sin?π－θ?·cos?π＋θ?sin θ·cos θ＝＝－1. sin θ·?－cos θ?∴上式的值为－1.
14．解 由条件得sin A＝2sin B，3cos A＝2cos B，
2
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
2
π3
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
44
π?33
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈??2，π?， 42
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
π3π7∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.
42612
第5页
1.3三角函数的诱导公式(一)知识点归纳与练习(含详细答案)
