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解得?213213． ?m?1313(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为
(x0,y0)．
xyxy∵A，B在椭圆上，∴1?1?1，2?2?1．两式相减得
43433(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0，
即3?2x0(x1?x2)?4?2y0(y1?y2)?0． ∴
22223xy1?y2??0(x1?x2)．
x1?x24y0又∵直线AB?l，∴kAB?kl??1， ∴?3x0?4??1，即y0?3x0 ①。 4y0又M点在直线l上， ∴y0?4x0?m ②。
由①，②得M点的坐标为(?m,?3m)．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式??0，建立参数方程．
xy(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，满足0?0?1，将x0，y0利用参数表示，
ab建立参数不等式．
例11 在面积为1的?PMN中，tanM22?1，tanN??2，建立适当的坐标系，求出以M、2N为焦点且过P点的椭圆方程．
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解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x,y)．
5??yx???2,?x?c??3c则?∴?1?y?,?4?x?c2y?c且c???3??cy?1.??即P(32
523,2) 34?25??1,?215??12a23b2?a?,∴?得?4
3?b2?3.?a2?b2?,??4?4x2y2??1 ∴所求椭圆方程为153例12、
?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的
轨迹和顶点A的轨迹． 分析：（1）由已知可得
GC?GB?20，再用椭圆定义求解．由G的轨迹方程G、A坐标的
关系，利用代入法求A的轨迹方程．
解： （1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系． 设G点坐标为?x，y?，由
GC?GB?20，
知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点． 因a?10，c?8，有b?6，
x2y2??1?y?0?． 故其方程为
10036,.
x?2y?2??1?y??0?． ① （2）设A?x，y?，G?x?，y??，则
10036x??，由题意有??3代入①，
??y??y?3??xx2y2??1?y?0?，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）得A的轨迹方程为． 900324,.
第三部分：椭圆常考题型解题方法针对性习题
1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y?x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，
2使得?ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。
x2y232、已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且在x轴上的顶点分别为
ab2A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于
点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
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椭圆常考题型解题方法针对性习题答案
1、解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。
由??y?k(x?1)2222kx?(2k?1)x?k?0 ① 消y整理，得2?y?x由直线和抛物线交于两点，得
??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0 即0?k?21 ② 42k2?1,x1x2?1。 由韦达定理，得：x1?x2??k22k2?11,)。 则线段AB的中点为(?22k2k111?2k2??(x?) 线段的垂直平分线方程为：y?2kk2k2令y=0,得x0?1111?E(?,0) ，则222k22k2Q?ABE为正三角形，
?E(311AB。 ?,0)到直线AB的距离d为222k2221?k21?4k22QAB?(x1?x2)?(y1?y2)? g1?k d?22kk31?4k21?k22?g1?k?
2k22k解得k??395满足②式， 此时x0?。 133c3?，a?2,则得c?3,b?1。 a22、解：（I）由已知椭圆C的离心率e?x2?y2?1 从而椭圆的方程为4,.
（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由??y?k1(x?2)222(1?4k)x?16kx?16k?4?0 消y整理得12122?x?4y?4Q?2和x1是方程的两个根，
4k116k12?42?8k12y? 则，， ??2x1?x?112221?4k11?4k11?4k12?8k124k1即点M的坐标为(,)， 221?4k11?4k128k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2Qyp?k1(t?2),yp?k2(t?2)
?k1?k22??，
k1?k2ty?y1y2?y1?， x?x1x2?x1Q直线MN的方程为：
?令y=0，得x?又Qtx2y1?x1y24，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?
y1?y2t?2，?0?4?2 tQ椭圆的焦点为(3,0)
434??3，即t?
3t故当t?43时，MN过椭圆的焦点。 3
椭圆常考题型汇总及练习进步
