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椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识
（一）椭圆几何性质
椭圆第一定义:平面内与两定点F1、F2距离和等于常数
?2a?(大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.
?2c?. 椭圆的几何性质:以
两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
x2y2?2?1?a?b?0?为例 2abx2y21. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标?x,y?都适合不等式2?1,2?1，即
abx?a,y?b说明椭圆位于直线x??a和y??b所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用
于求最值、轨迹检验等问题.
2. 对称性:关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：A1??a,0?、A2?a,0?、B1?0,?b?、B2?0,b?. 4. 长轴、短轴：
A1A2叫椭圆的长轴，A1A2?2a,a是长半轴长； B1B2叫椭圆的短轴，B1B2?2b,b是短半轴长.
5. 离心率
（1）椭圆焦距与长轴的比e?（2）Rt?OB2F2,
2c?a?c?0,?0?e?1? ，?a22B2F2?OB2?OF2，即a2?b2?c2.这是椭圆的特征三角形，并且
cos?OF2B2的值是椭圆的离心率.
（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c越接近于a，从而b?22椭圆越扁；当e接近于0时，从而b?a?cc越接近于0，a2?c2越小，
越大，椭圆越接近圆。
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2b26.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），.
a7.设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当P、F1、F2三点不在同一直线上时，
P、F1、F2构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：
PF1?PF2?2a,F1F2?2c.
（二）运用的知识点及公式
1、两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1；两条直线垂直，则直线所在
v2?0 的向量v1g2、韦达定理：若一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，则
2rrbcx1?x2??,x1x2?。
aax?x2y?y2,y?13、中点坐标公式：x?1，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。 224、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，
则y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2?(1?k2)(x1?x2)2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]
或者
1111AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?2)(y1?y2)2?(1?2)[(y1?y2)2?4y1y2]。
kkkk
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第二部分：椭圆常考题型解题方法典例
一、椭圆定义相关题目
x2y2???1表示椭圆，求k的取值范围． 例1、已知方程
k?53?k?k?5?0,?解：由?3?k?0,得3?k?5，且k?4．
?k?5?3?k,?∴满足条件的k的取值范围是3?k说明：本题易出现如下错解：由??5，且k?4．
?k?5?0,得3?k?5，故k的取值范围是3?k?5．
?3?k?0,出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a?b?0这个条件，当a?b时，并不表示椭圆． 例2、已知xsin??ycos??1(0????)表示焦点在
22y轴上的椭圆，求?的取值范围．
x2y2??1． 解：方程可化为11sin?cos?11??0． cos?sin??3因此sin??0且tan???1从而??(,?)．
2411?0，??0，这是容易忽视的地方． 说明：(1)由椭圆的标准方程知
sin?cos?1122(2)由焦点在y轴上，知a??，b?．
cos?sin? 因为焦点在
y轴上，所以?(3)求?的取值范围时，应注意题目中的条件0????．
x2y2??1的焦点为焦点，过直线l：x?y?9?0上一点M作椭圆，要使所例3、 以椭圆
123作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
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分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决．
0?．F的坐标为（－9，6）0?，F2?3，解：如图所示，焦点为F1??3，，直线FF2的方程为
x?2y?3?0．
解方程组??x?2y?3?0得交点M的坐标为（－5，4）．
?x?y?9?0所求椭圆的长轴：2a?∴a?35，又c?3， ∴b2MF1?MF2?FF2?65，
?a?c?35?32?36．
22??2x2y2??1． 因此，所求椭圆的方程为
4536二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目 例4、 已知椭圆4x?y?1及直线
22y?x?m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为解：（1）把直线方程
2210，求直线的方程． 5y?x?m代入椭圆方程4x2?y2?1得
4x2??x?m??1，
即5x?2mx?m?1?0．
22???2m??4?5?m2?1??16m2?20?0，解得?2??55． ?m?22,.
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，
m2?12m 由（1）得x1?x2??，x1x2?．
55m2?1210?2m??根据弦长公式得 ：1?1???． ??4?55?5?22解得m?0．方程为y?x．
说明：对比直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法？．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 例5、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
?的3AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?48． 13(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
x2y2??1， 由题意可知椭圆方程为
369设
AF1?m，BF1?n，则AF2?12?m，BF2?12?n．
AF2?AF1?F1F2?2AF1F1F2cos222在?AF1F2中，即(12?m)所以m?2?3，
1?m2?36?3?2?m?63?；
26．
4?3同理在?BF1F2中， 用余弦定理得n?6，
4?3所以AB?m?n?48． 13(法3)利用焦半径求解．
椭圆常考题型汇总及练习进步
